Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

63
.
2
333
323112121
333
323112121
2
333
313122111
333
313122111
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
−
++
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
−
+−
aa
aaaaaa
ab
ababab
aa
aaaaaa
ab
ababab
εεεε
В последнем выражении после возведения в квадрат, группировки
слагаемых при множителях
33
2
3
2
3
2,, baba
−
и приведения подобных
слагаемых имеем:
()
(
)
()
2
3
2
3
221133
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
3
2
33
2
12
2
11
2
ba
bababaaabbba
a
aa
ab
+−+++
+
=∠
.(23)
Из равенств (22), (23) следует
2
12
2
11
2
33
''
aa
a
ab
ba
k
+
=
∠
∠
=
.
Теорема доказана.
Теорема 2. Каждое преобразование H коевклидовой плоскости, заданное
матрицей (1), изменяет расстояние от точки до неизотропной прямой в k раз,
где число k определено выражением (21).
Доказательство. Каждое преобразование Н группы G переводит прямую
m (m
1
: m
2
: m
3
) в прямую m':
()
(
)
(
()( )()
())
,
:
:
2
12
2
113
2333321133113312
2333321213333111
aam
mamaamamaa
mamaamamaa
+−
−+−
−
+
−
ε
а точку B(b
1
:b
2
:b
3
) в точку
B' (a
11
b
1
+a
12
b
2
: – εa
12
b
1
+εa
11
b
2
: a
31
b
1
+a
32
b
2
+a
33
b
3
).
Согласно формуле (46) главы 2 имеем:
()
2
2
2
13
332211
,
bbm
mbmbmb
mB
+
++
=
ρ
, (24)
()
2
2
2
1
2
12
2
113
33221133
,
bbaam
mbmbmba
mB
++
++
=
′′
ρ
. (25)
Из выражений (24), (25) получаем равенство:

Страницы