Составители:
Рубрика:
64
()
()
.
,
,
2
12
2
11
2
33
aa
a
mB
mB
k
+
=
′′
=
ρ
ρ
Что и требовалось доказать.
Число k назовём коэффициентом искажения преобразования H.
Инвариант k является аналогом коэффициента подобия евклидовой
плоскости.
Преобразования коевклидовой плоскости, сохраняющие без изменения
меры углов, назовём движениями коевклидовой плоскости.
Пусть преобразование H задано матрицей (1). Согласно теореме 1 H
является движением тогда и только тогда, когда k = 1, то есть когда
выполняется
условие (20). Преобразования группы G, удовлетворяющие
условию (20), образуют группу. Назовём эту группу группой движений
коевклидовой плоскости. Последняя колонка таблиц 1, 2 определяет место
движений среди всех преобразований коевклидовой плоскости.
Следствием теоремы 2 является следующее утверждение.
Теорема 3. Преобразование коевклидовой плоскости не изменяет
расстояние от точки до прямой тогда и только тогда, когда оно является
движением этой плоскости.
Учитывая определение расстояния между коллинеарными точками
(глава 2, §11) и теорему 2, получаем теорему.
Теорема 4. Преобразование коевклидовой плоскости не изменяет
расстояние между коллинеарными точками тогда и только тогда, когда оно
является движением этой плоскости.
∗
Следующие три теоремы характеризуют преобразования первого рода
коевклидовой плоскости.
Теорема 5. Пусть M' – образ произвольной точки M в преобразовании H
коевклидовой плоскости. Если расстояние MM' постоянно, то есть не зависит
от выбора точки M, то H – преобразование первого рода.
Доказательство. Пусть в некотором каноническом репере R
преобразования коевклидовой плоскости заданы матрицей (1), а точка M –
однородными координатами (x
1
: x
2
: x
3
), тогда однородные координаты точки
M' в том же репере имеют вид:
()
333232131211112212111
:: xaxaxaxaxaxaxaM
+
+
+
−+
′
ε
ε
. (26)
По формуле (18) главы 1
(
)
()
2
12
2
11
2
2
2
1
2
2112112
2
111
1
cos
aaxx
xaxxaxa
MM
++
+−+
=
′
εε
. (27)
∗
Отметим, что движения коевклидовой плоскости можно определить как
преобразования, сохраняющие без изменения расстояния между точками изотропных
прямых (см., например, [9, стр. 367]).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
