Составители:
Рубрика:
62
двойную собственную для коевклидовой плоскости точку, ортогональную
указанной изотропной прямой, и двойную изотропную прямую, проходящую
через эту точку.
Преобразование второго рода, определённое условиями (18) и (20)
назовём центральной симметрией.
3.Уравнение (4) имеет трехкратный корень
Тогда a
11
= a
12
= a
33
= 0 и, следовательно, матрица (1) не определяет
преобразование коевклидовой плоскости.
Результаты проведенной классификации преобразований коевклидовой
плоскости представлены в приложении, в таблицах 1, 2.
4.2 Свойства преобразований коевклидовой плоскости. Движения
Докажем общие свойства всех преобразований коевклидовой плоскости.
Теорема 1. Каждое преобразование Н группы G, заданное матрицей (1),
изменяет меру данного угла в k раз, где
2
12
2
11
2
33
aa
a
k
+
=
. (21)
Доказательство. Пусть (a
i
), (b
i
), i = 1, 2, 3, – однородные координаты
прямых a' и b' соответственно в каноническом репере R. На прямой a'
выберем две точки, например, F'
1
(0: – a
3
: a
2
) и F'
2
(– a
3
: 0 : – a
1
). Прообразы
этих точек в преобразовании Н группы G имеют координаты:
));(::(
2
12
2
112321133112333113331231
aaaaaaaaaaaaaaaF +−−−
ε
)).(::(
2
12
2
111321233111333123331132
aaaaaaaaaaaaaaaF +++−−
Следовательно, однородные координаты прообраза прямой a' в
преобразовании H имеют вид:
()
333323112121313122111
:: aaaaaaaaaaaaaaa
+
+
+−
ε
ε
.
Аналогично, однородные координаты прообраза прямой b' в
преобразовании H имеют вид:
()
333323112121313122111
:: abababababababb
+
+
+
−
ε
ε
.
Мера угла a'b', вычисленная по формуле (42) главы 2, равна:
(
)
(
)
()
2
3
2
3
221133
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
3
2
3
2
3
2
2
3
1
3
1
2
ba
bababaaabbba
a
a
b
b
a
a
b
b
+−+++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
.(22)
Определим меру угла ab:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
