Составители:
Рубрика:
66
Так как для собственных точек коевклидовой плоскости
0
2
2
2
1
≠+ xx
, то
условие (30) выполняется тогда и только тогда, когда a
12
= 0.
При ε = – 1 условие (29) имеет вид
.02
2
1122111
2
212
=
−
+
xaxxaxa
(31)
Последнее равенство должно быть тождественным, так как M –
произвольная точка плоскости. То есть необходимо иметь a
11
= a
12
= 0. Но
при нулевых значениях коэффициентов a
11
и a
12
матрица (1) не определяет
преобразование коевклидовой плоскости.
Таким образом, среди преобразований второго рода коллинеарных
преобразований нет.
Доказана теорема.
Теорема 7. Преобразование группы G, заданное матрицей (1), является
коллинеарным тогда и только тогда, когда это преобразование первого рода и
a
12
= 0.
Две следующие теоремы описывают свойства преобразований второго
рода.
Теорема 8. Каждое преобразование второго рода имеет две
инвариантные ортогональные друг другу изотропные прямые.
Доказательство данной теоремы следует из предыдущих рассуждений.
Действительно, равенство (31) определяет координаты точек, коллинеарных
со своими образами в преобразовании второго рода. Все такие точки
заполняют две изотропные прямые:
(
)
(
)
.0:,0:
2
2
12
2
111111222
2
12
2
11111121
=++−=+−− xaaaxamxaaaxam
Для прямых m
1
, m
2
выполняется условие ортогональности ((14) глава 1).
Что и требовалось доказать.
Приведем еще одно доказательство, основанное на применении
принципа двойственности проективной плоскости.
К коевклидовым преобразованиям мы отнесли все преобразования
проективной плоскости, относительно которых инвариантна абсолютная
квадрика, пара мнимо сопряженных прямых. Очевидно, все коевклидовы
преобразования оставляют неподвижным пучок прямых, определенный
абсолютной квадрикой. В результате
преобразований второго рода
абсолютные прямые переходят друг в друга.
Для доказательства утверждения теоремы применим принцип
двойственности: проведем рассуждения для объекта, состоящего из
прямолинейного ряда точек (соответствующего по принципу двойственности
пучку прямых) и пары мнимо сопряженных точек этого ряда
(соответствующей паре мнимо сопряженных прямых пучка), переходящих
друг в друга при каждом
преобразовании объекта.
Пусть проективные преобразования прямолинейного ряда точек заданы
формулами
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
