Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

68
Поэтому (MM' K
1
K
2
) = –1. По принципу двойственности это означает,
что каждая изотропная прямая коевклидовой плоскости в преобразовании
второго рода переходит в прямую, гармонически разделяющую с данной
прямой пару двойных изотропных прямых преобразования. Отсюда
непосредственно следует утверждение теоремы.
4.3 Конструктивное определение коевклидовых преобразований
Найдем определяющие элементы преобразований коевклидовой
плоскости и способ построения образов фигур в заданном преобразовании.
1. Отражение от неизотропной прямой (евклидово вращение)
Зафиксируем неизотропную прямую t и на ней пару точек N
1
, N
2
. Пусть
Ñ
2
– точка, ортогональная точке N
2
, а S – середина неизотропного отрезка
N
2
N
1
Ñ
2
.
Возможны два принципиально различных варианта расположения точек
N
1
, N
2
:
1) |[N
1
N
2
]| > |[N
2
S]|,
∗
в этом случае точки N
2
, S не разделяют пару точек
N
1
, Ñ
2
, то есть (SN
2
N
1
Ñ
2
) > 0;
2) |[N
1
N
2
]| < |[N
2
S]|, точки N
2
, S разделяют пару точек N
1
, Ñ
2
, то есть
(SN
2
N
1
Ñ
2
) < 0.
1. Пусть |[N
1
N
2
]| > |[N
2
S]|.
Каждой точке M коевклидовой плоскости и действительному
положительному числу k поставим в соответствие такую точку M' этой
плоскости, для которой выполняются следующие условия:
1)
|[MM']| = |[N
1
N
2
]|, то есть ((PМ)(PМ') l
1
l
2
) = ((PN
1
)(PN
2
) l
1
l
2
), где l
1
, l
2
– прямые абсолюта, Р – точка их пересечения;
2)
∠(N
2
М') t = k ∠(N
1
М) t;
3)
если точка М
0
, коллинеарная точке М на прямой t, принадлежит (не
принадлежит) неизотропному отрезку N
1
S N
2
, то ковекторы, представленные
дублетами
tMNtNM )(,)(
22
′
, сонаправлены (противоположно направлены).
Покажем, что введенное соответствие является преобразованием
коевклидовой плоскости. Пусть произвольная точка М принадлежит
изотропной прямой m. Тогда существует единственная прямая m' такая,
что (m m' l
1
l
2
) = ((PN
1
)(PN
2
) l
1
l
2
).
Для каждой точки М прямая MN
1
определена единственным образом,
следовательно, единственным образом определено число
α
= k ∠(N
1
М) t.
Существуют две прямые m
1
, m
2
, проходящие через точку N
2
, такие, что
∠m
1
t =
α
, ∠m
2
t =
α
. Ковекторы m
1
t, m
2
t являются противоположными, то
есть (m
1
m
2
t (PN
2
)) = –1 < 0. Это означает, что пара прямых m
1
, m
2
разделяет
пару прямых t, PN
2
. Возможны два варианта расположения прямых m
1
, m
2
, t,
∗
Будем считать, что все рассматриваемые неизотропные отрезки положительные, и из
двух смежных отрезков будем использовать наименьший по длине (гл. 2, §9).

Страницы