Составители:
Рубрика:
67
2121111
xbxbx +=
′
ρ
,
2221212
xbxbx
+
=
′
ρ
,
где
,0
2221
1211
≠
bb
bb
а мнимо сопряженные точки в некотором проективном репере R
0
на этой
прямой имеют координаты: J
1
(i : 1), J
2
(– i : 1). Условия b
22
= – b
11
, b
21
= b
12
определяют те преобразования прямолинейного ряда точек, при которых
точки J
1
, J
2
переходят друг в друга. Найдем инвариантные элементы
преобразований при данных условиях. Пусть (x
1
: x
2
) – двойная точка
преобразования. Тогда ее координаты удовлетворяют системе уравнений
2121111
xbxbx +=
ρ
,
2111122
xbxbx
−
=
ρ
,
которая имеет ненулевые решения только в случае равенства нулю своего
определителя, то есть при условии
.0
1112
1211
=
−−
−
ρ
ρ
bb
bb
Последнее уравнение имеет два различных действительных корня
2
12
2
112,1
bb +±=
ρ
, каждому корню соответствует инвариантная точка
преобразования
):(
11
2
12
2
11122,1
bbbbK −+±
. Непосредственной проверкой
убеждаемся, что (K
1
K
2
J
1
J
2
) = –1.
Итак, все проективные преобразования прямой, в результате которых
переходят друг в друга мнимо сопряженные точки одной пары, имеют две
действительные инвариантные точки. Причем эти двойные точки
гармонически разделяют данную пару мнимо сопряженных точек.
По принципу двойственности теорема справедлива.
Теорема 9. Каждая точка коевклидовой плоскости со своим образом в
любом преобразовании второго рода гармонически разделяет пару двойных
изотропных прямых преобразования.
Доказательство. Продолжая рассуждения доказательства предыдущей
теоремы, найдем образ M' точки M (m
1
: m
2
) в проективных преобразованиях
прямой
2121111
xbxbx +=
′
ρ
,
2111122
xbxbx
−
=
′
ρ
.
Точка М' в репере R
0
имеет координаты:
):(
211112212111
mbmbmbmbM
−
+
′
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
