Составители:
Рубрика:
57
Каждому значению корня уравнения (4) соответствует определенный
набор инвариантных элементов преобразования, поэтому дальнейшая
классификация преобразований подразумевает исследование решений
уравнения (4).
С целью упрощения рассуждений преобразования первого и второго
рода будем классифицировать отдельно.
1. Преобразования первого рода
При ε = 1 уравнение (4) имеет корни: ρ
1
= а
33
, ρ
2,3
= а
11
± ia
12
. Возможны
следующие случаи: корни уравнения (4) различны; уравнение (4) имеет один
двукратный корень; все корни уравнения (4) совпадают. Рассмотрим более
подробно каждый из указанных случаев.
1. Корни уравнения (4) различны
Найдём двойные точки преобразований первого рода, соответствующие
значениям ρ
i
, i = 1, 2, 3.
Система уравнений (2) при первом значении корня ρ = ρ
1
= а
33
имеет
вид:
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=−+−
=+−
.0
,0
,0
232131
23311112
21213311
xaxa
xaaxa
xaxaa
(5)
Каждое уравнение системы (5) в рассматриваемом случае задаёт
изотропную прямую ((10), гл. 1), следовательно, система (5) определяет
единственную инвариантную точку – действительную точку абсолюта
P(0:0:1).
При условии ρ = ρ
2,3
= а
11
± ia
12
система уравнений (2) имеет вид:
()
()
()()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=±−++
=±
=−±
.0
,0
,0
3121133232131
2112
2112
xiaaaxaxa
ixxa
xixa
(6)
Соответственно знаку «+» или «–» получаем две различные системы (6).
Первые два уравнения каждой из этих систем равносильны и, так как корни
уравнения (4) различны, то есть а
12
≠ 0, эти уравнения определяют одну из
прямых абсолюта. Следовательно, сами системы (6) определяют комплексно
сопряженные инвариантные точки
()
(
)()
3231331112121133
:: iaaaaiaiaaa
±
−
±
−
±
+
−
, (7)
по одной на каждой из абсолютных прямых.
Из инвариантности точек (7) следует инвариантность проходящей через
них неизотропной действительной прямой:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
