Составители:
Рубрика:
73
Итак, проективные координаты (x'
1
:
x'
2
:
x'
3
) точки M', образа точки M при
отражении с коэффициентом k от неизотропной прямой t (t
1
:
t
2
:
t
3
),
выражаются через координаты (x
1
: x
2
: x
3
) точки M следующим образом:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+−+−=
′
=
′
=
′
.)1()1(
,
,
3322113
232
131
xktxktxktx
xtx
xtx
ρ
ρ
ρ
(46)
Матрица сжатия к неизотропной прямой имеет вид
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
321
3
3
)1()1(
00
00
kttktk
t
t
(47)
и при соответствующих обозначениях совпадает с матрицей A
2
,
представленной во второй строке таблицы 1 (приложение 2).
С другой стороны, согласно результатам классификации преобразований
и теореме 1 каждое преобразование, заданное матрицей A
2
, является сжатием
к неизотропной оси t (а
31
: а
32
: а
33
−
а
11
) с коэффициентом k = а
33
/ а
11
.
Таким образом, преобразования, заданные матрицей A
2
, и только они
являются сжатиями к неизотропной прямой.
Заметим, что при k < 0 пара точек М, М' разделяет пару точек Р, Т, то
есть изотропный отрезок ММ' содержит точку оси сжатия. При k > 0
изотропный отрезок ММ' не содержит точек оси сжатия.
По формуле (46) главы 2 найдем расстояния от точек М, М
' до прямой t.
() ()
.,,,
2
2
2
13
332211
2
2
2
13
332211
mmt
tmtmtmk
tM
mmt
tmtmtm
tM
+
++
=
′
+
++
=
ρρ
(48)
Сравнивая выражения из (48), получаем
()
(
)
tMktM ,,
ρρ
=
′
.
Следовательно, в данном преобразовании при |k | > 1, расстояние от
точки до оси сжатия увеличивается. Преобразование в этом случае можно
называть растяжением с коэффициентом k от оси t. При |k | < 1 расстояние
от точки до оси сжатия уменьшается.
Сжатие к неизотропной прямой t при k = –1 является движением. В этом
случае прямая t делит изотропный
отрезок MM' пополам. Указанное
преобразование является аналогом центральной симметрии плоскости
евклидовой. Назовем его симметрией относительно неизотропной прямой.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
