Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

76
1)
изотропные прямые MP и М'P гармонически разделяют изотропные
ортогональные прямые NP и ÑP (Ñ – точка прямой t, ортогональная точке N);
2)
прямая t делит угол M'NM в отношении (–λ), то есть
((NM')(NM) t (NP)) = λ.
Введенное соответствие, очевидно, является взаимно однозначным
отображением коевклидовой плоскости на себя. Покажем, что оно является
преобразованием второго рода. Действительно, пусть Т – некоторая точка на
прямой l
1
абсолюта. Согласно условию 1 введенное преобразование
переводит точку Т в точку изотропной прямой, гармонически разделяющей с
прямой l
1
пару прямых NP и ÑP, то есть в точку прямой l
2
абсолюта. Таким
образом, данное преобразование переводит друг в друга абсолютные прямые,
следовательно, является преобразованием второго рода.
Назовем введенное преобразование поворотным отражением от
неизотропной прямой t с центром в точке N и коэффициентом λ.
Найдем аналитическую запись поворотного отражения в
присоединенной канонической системе координат.
Учитывая ортогональность точек N и Ñ, совместим собственные
вершины канонического
репера с этими точками: А
1
= N(1:0:0), А
2
= Ñ(0:1:0).
Пусть М (m
1
: m
2
: m
3
) – произвольная точка плоскости, а М' (m'
1
: m'
2
: m'
3
) – ее
образ в данном преобразовании. Прямые PN, PÑ, PM, PM' имеют следующие
однородные координаты:
(0:1:0), (1:0:0), (–m
2
: m
1
:0), (–m'
2
: m'
1
:0).
Согласно условию 1 получаем:
2211
:: mmmm
′
=
′
. (50)
Однородные координаты прямых NP, NÑ, NM, NM' имеют вид:
(0:1:0), (0:0:1), (0: –m
3
: m
2
), (0: –m'
3
: m'
2
).
Следовательно, условие 2 дает:
3322
:: mmmm
′
=
′
λ
. (51)
Отношения (50), (51) определяют формулы поворотного отражения:
1111
xax =
′
ρ
,
2112
xax
−
=
′
ρ
,
3113
xax
λ
−
=
′
. (52)
Матрица преобразования, очевидно, является матрицей вида A
5
из
таблицы 2 (приложение 2) преобразований коевклидовой плоскости.
Ортогональные точки N, Ñ являются инвариантными точками в
поворотном отражении от прямой NÑ. Число λ – инвариант преобразования.
Так как по определению λ ≠ ± 1, движений среди поворотных отражений
от неизотропной прямой нет.
Поясним выбор названия преобразования.

Страницы