Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

77
Прямая t является инвариантной прямой преобразования. Причем если
λ > 0 (λ < 0), то согласно второму условию определения преобразования
ковекторы, представленные дублетами
(
)
(
)
tNMtMN
′
,
, сонаправлены
(противоположно направлены). Поэтому преобразование называем
отражением от прямой t с коэффициентом λ.
Пусть M
0
, M'
0
– точки, коллинеарные на прямой t точкам М, М'
соответственно. Тогда по первому условию определения преобразования
точки N и Ñ являются серединами неизотропных отрезков, определенных
точками M
0
, M'
0
. Поэтому |M
0
N| = |NM'
0
|. Учитывая, что М || M
0
и М' || M'
0
,
имеем: |МN| = |M
0
N|, |NM'| = |NM'
0
|. Таким образом, |MN| = |NM'|. То есть
данное преобразование не изменяет расстояния от каждой точки плоскости
до фиксированной точки N, названной центром преобразования. Тем же
свойством обладает поворот вокруг некоторой точки евклидовой плоскости.
Поэтому отражение называем поворотным с центром в точке N.
Два поворотных отражения от неизотропной прямой t с коэффициентом
λ назовем сопряженными, если центры этих отражений – ортогональные
точки. Аналитическая запись поворотного отражения, сопряженного
отражению (52), имеет вид:
1111
xax =
′
ρ
,
2112
xax
−
=
′
ρ
,
3113
xax
λ
ρ
=
. (53)
Справедливы следующие утверждения.
1.
Образы каждой точки коевклидовой плоскости в сопряженных
поворотных отражениях от неизотропной прямой t коллинеарны и
симметричны относительно этой прямой.
2.
Композиция сопряженных поворотных отражений от неизотропной
прямой t с коэффициентом λ является сжатием к оси t с коэффициентом (–λ
2
).
6. Центральная симметрия
Симметрией с центром в точке K
назовем преобразование коевклидовой
плоскости, которое каждой точке М
ставит в соответствие точку M', для
которой выполняются условия:
1)
точка М' принадлежит прямой
MK;
2)
изотропные прямые MP и М'P
гармонически разделяют изотропные
ортогональные прямые PK и k (рис. 15).
Точку K назовем центром
симметрии.
Прямые PK и k – ортогональные, то
есть гармонически разделяют прямые l
1
,
l
2
абсолюта. Поэтому по второму
M K M'
k
P
Рис. 15

Страницы