Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

81
Матрица B построена.
2. Правые части уравнений (60), (61) одновременно равны нулю. Это
приводит к выполнению условий (18), при которых матрица A задает
центральную симметрию.
Тогда система уравнений (59), (60), (61) имеет единственное нулевое
решение, определяющее нулевой ковектор
V.
Теорема справедлива в силу произвольного выбора движения H.
Найдем условия, при которых композиция центральной симметрии и
изотропного сдвига коммутативна.
Пусть симметрия с центром в точке K задана в присоединенном
каноническом репере R (K = A
1
(1:0:0)) формулами (56), а изотропный сдвиг
на ковектор
V (v
1
; v
2
) с направляющей v (v
1
: v
2
: 0) матрицей (49).
Коммутативность произведения матриц заданных преобразований
приводит к равенству
,
100
010
001
1
010
001
1
010
001
100
010
001
2121
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
vvvv
(66)
из которого находим значение первой координаты ковектора
V: v
1
= 0.
Следовательно, направляющая v ковектора
V имеет в репере R координаты:
v (0: 1: 0) и проходит через точку K, центр симметрии.
Обратно. Если направляющая v (v
1
: v
2
: 0) ковектора V содержит центр
симметрии, точку K(1:0:0), то v
1
= 0. Последнее условие обеспечивает
выполнение равенства (66). Следовательно, композиция центральной
симметрии и изотропного сдвига коммутативна.
Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 11. Композиция центральной симметрии и изотропного сдвига
на ковектор коммутативна тогда и только тогда, когда направляющая
ковектора проходит через центр симметрии.
Из теоремы 11 и определения скользящего отражения непосредственно
следует теорема.
Теорема 12. В скользящем отражении композиция центральной
симметрии и изотропного сдвига коммутативна.
4.4 Инволюции коевклидовой плоскости
Инволюционным (инволютивным) преобразованием (или инволюцией
∗
)
называют нетождественное преобразование, совпадающее со своим
обратным [2, стр. 50], [6, стр.62].
∗
Термин инволюция (от лат. involutio – изгиб, свертывание, скрученное состояние
молодых листьев) ввел создатель проективной геометрии Ж.Дезарг.

Страницы