Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 84 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

Доказана теорема.

Теорема 13. Инволюционными преобразованиями первого рода

коевклидовой плоскости являются симметрии относительно неизотропной

прямой, и только они.

2. Инволюции второго рода

Преобразование H второго рода зададим матрицей (1) при ε = –1.

Матрица квадрата данного преобразования имеет вид:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++−+−

33333231123211333132123111

aaaaaaaaaaaaa

Последняя матрица определяет тождественное преобразование при

одновременном выполнении условий (18), (20). При этих условиях

преобразование H является центральной симметрией.

Таким образом, справедлива теорема.

Теорема 14. Инволюционными преобразованиями второго рода

коевклидовой плоскости являются центральные симметрии, и только они.

Итак, линейными инволюциями коевклидовой плоскости являются

только симметрии либо относительно прямой, либо относительно точки. Эти

преобразования являются аналогами соответственно центральной и осевой

симметрии евклидовой плоскости, которые также являются линейными

инволюциями.

В данной главе мы рассматривали только линейные преобразования

коевклидовой плоскости. Можно показать, что на коевклидовой плоскости,

как и на плоскости евклидовой, существуют нелинейные инволюционные

преобразования. Например, инверсии. Их можно определить, как

преобразования, соответствующие по принципу двойственности инверсиям

плоскости евклидовой.