Составители:
Рубрика:
85
Пусть точка С пробегает всю линию. Тогда уравнение (3) определяет
семейство всех касательных к линии (1). Очевидно, квадрику можно
рассматривать как огибающую этого семейства.
Обозначим через (X
1
: X
2
: X
3
) однородные координаты касательной,
проходящей через точку С линии. Тогда из уравнения (3) для находим
1331221111
acacacX
+
+
=
λ
,
2332221212
acacacX
+
+
=
λ
, (4)
3332321313
acacacX
+
+
=
λ
,
где λ – произвольное ненулевое число.
Определитель матрицы А отличен от нуля, поэтому уравнения (4)
разрешимы относительно координат точки С. Эти координаты
удовлетворяют уравнению (1), так как точка С лежит на квадрике.
Подставляя значения c
1
, c
2
, c
3
из уравнений (4) в уравнение (1), после
несложных преобразований получим уравнение относительно координат
касательной
0222
322331132112
2
333
2
222
2
111
=+++++ XXAXXAXXAXAXAXA
, (5)
где A
ij
, i, j = 1, 2, 3, – алгебраические дополнения соответствующих
коэффициентов a
ij
уравнения (1).
Уравнение (5) является уравнением семейства всех касательных к линии
(1), то есть определяет квадрику как огибающую этого семейства. Числа A
ij
назовем тангенциальными координатами квадрики, а уравнение (5) –
уравнением квадрики в тангенциальных координатах.
3. Уравнение (1) в общем случае содержит шесть коэффициентов,
определенных с точностью до общего множителя, следовательно, семейство
всех линий второго порядка зависит от пяти параметров. Подвижность
коевклидовой плоскости равна четырем. Поэтому должно существовать
некоторое число, зависящее от координат квадрики, инвариантное
относительно группы G ((3), гл. 1) преобразований коевклидовой плоскости.
Действительно, пусть общее уравнение квадрики,
полученной из
квадрики (1) некоторым преобразованием Н группы G, имеет вид
0222
322331132112
2
333
2
222
2
111
=
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
xxaxxaxxaxaxaxa
. (6)
Матрица A' координат a'
ij
, i, j = 1, 2, 3, квадрики (6) может быть
представлена [6, стр. 81] в виде произведения матриц:
A
BB
A
T
=
′
,
где В – матрица, обратная к матрице преобразования Н, а B
T
– матрица,
транспонированная по отношению к матрице В.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- …
- следующая ›
- последняя »
