Составители:
Рубрика:
84
Глава 5. Квадрики коевклидовой плоскости
5.1 Уравнения квадрики. Овальная линия
1. Множество всех точек коевклидовой плоскости, проективные
координаты в некотором каноническом репере R которых удовлетворяют
уравнению
0222
322331132112
2
333
2
222
2
111
=+++++ xxaxxaxxaxaxaxa
, (1)
назовем линией второго порядка, или квадрикой коевклидовой плоскости.
Напомним, что репер R выбран таким образом, чтобы уравнение
абсолютной квадрики в нем имело вид (1) главы 4.
Уравнение (1) назовем общим уравнением квадрики, а его
коэффициенты, определенные с точностью до общего множителя, –
однородными проективными координатами квадрики, или кратко:
координатами квадрики.
Симметрическую матрицу
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
332313
232212
131211
aaa
aaa
aaa
A
(2)
назовем матрицей координат квадрики (1), или: матрицей квадрики (1).
Линию второго порядка будем называть овальной, если существуют
действительные точки ей принадлежащие, и матрица квадрики –
невырожденная, то есть определитель матрицы А отличен от нуля.
Последнее условие означает, что ранг квадратичной формы (обозначим
его r), определяющей левую часть уравнения (1) и инвариантный
относительно
всех проективных преобразований, равен трем.
Напомним, что на проективной плоскости [2, стр. 55] уравнение (1) при
условии r < 3 определяет квадрику, распавшуюся на пару прямых, различных
(действительных или мнимых) при r = 2, или слившихся при r = 1. Такие
квадрики, равно как и невырожденные квадрики, не имеющие
действительных точек, их называют нулевыми, не представляют особого
интереса.
Поэтому наши исследования относятся только к овальным линиям.
2. Через каждую точку C(c
1
: c
2
: c
3
) проективной плоскости проходят две
касательные к овальной линии [2, стр. 61]: действительные различные, если
точка внешняя по отношению к квадрике; мнимо сопряженные, если точка –
внутренняя; совпавшие, если точка принадлежит квадрике. В последнем
случае уравнение касательной к линии имеет вид [2, стр. 58]:
0)()()(
333232131323322212121331221111
=+
+
+
+
+
+++ acacacxacacacxacacacx
. (3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- …
- следующая ›
- последняя »
