Составители:
Рубрика:
82
Пусть Н – инволюционное преобразование некоторого множества Ф, а М
– произвольная точка из Ф. Тогда если Н (М) = М', то Н (М') = М.
Признак инволюционности [6, стр.63] преобразования Н можно записать
в виде:
Н
2
= Е, (67)
где Е – тождественное преобразование.
Найдем инволюции фундаментальной группы коевклидовой плоскости.
1. Инволюции первого рода
Пусть преобразование первого рода коевклидовой плоскости задано
матрицей (1) при условии ε = 1. Определим матрицу квадрата данного
преобразования.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++−
−−
−
=
2
33333231123211333132123111
2
12
2
111211
1211
2
12
2
11
02
02
aaaaaaaaaaaaa
aaaa
aaaa
A
.
Матрица A задает тождественное преобразование тогда и только тогда,
когда имеют место следующие равенства:
.0,0
,0,
333232123211333132123111
1211
2
33
2
12
2
11
=++=+−
==−
aaaaaaaaaaaa
aaaaa
(68)
Из второго равенства получаем a
11
= 0 или a
12
= 0.
При a
11
= 0 первое равенство (68) дает:
2
33
2
12
aa =−
. Следовательно, в
данном случае имеем: a
11
= a
12
= a
33
= 0. При этих требованиях матрица (1) не
определяет преобразование коевклидовой плоскости.
При a
12
= 0 последние два условия (68) имеют вид
,0)(
331131
=+ aaa
.0)(
331132
=
+
aaa
Откуда с учетом первого равенства (68) получаем две возможные
матрицы преобразований:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
11
11
11
00
00
00
a
a
a
E
,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
113231
11
11
00
00
aaa
a
a
I
.
Матрица E задает тождественное преобразование, которое согласно
определению не является инволюционным.
Матрица I определяет симметрию относительно неизотропной прямой
(a
31
: a
32
: – 2a
11
).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
