Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 10 стр.

ПГУ                                                 Каф ВиПМ
               Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

       Если поверхность задана уравнением z  f ( x, y) где f ( x, y) – функция,
дифференцируемая в точке P0 ( x0 , y0 ) , касательная плоскость в точке
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) существует и имеет уравнение:
               z  f ( x0 , y0 )  f x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ) .          (11.9)
       Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
                              x  x0          y  y0         z  z0
                                                                  .                               (11.10)
                           f x ( x0 y0 ) f y ( x0 , y0 )     1
     В случае, когда уравнение гладкой поверхности задаётся в неявном ви-
де F ( x, y, z )  0 и F ( x0 , y0 , z0 )  0 , то уравнение касательной плоскости в
точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) имеет вид
    Fx ( x0 , y0 , z0 )( x  x0 )  Fy ( x0 , y0 , z0 )( y  y0 )  Fz ( x0 , y0 , z0 )( z  z0 )  0 ,
а уравнение нормали
                                x  x0               y  y0               z  z0
                                                                                       .
                          Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
       Пример 3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-
верхности z  x 2  2 xy  y 2  x  2 y в точке М(1, 1, 1).
     Решение. Находим частные производные функции и вычисляем их
значения в точке М:
            z                   z                      z             z
                2 x  2 y  1;       2 x  2 y  2 ;          1;         2;
            x                   y                      x M           y M
       Уравнение касательной плоскости:
                      z  1  ( x  1)  2( y  1);    x  2 y  z  0;
                                       x 1 y 1 z 1
       Уравнение нормали:                           .
                                        1    2   1

                            Производная по направлению. Градиент
     Пусть дана функция u  f ( x, y, z ) , определенная и дифференцируемая в
                                                                       
некоторой окрестности точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , и вектор  , который имеет
начало в точке M 0 и направляющие косинусы cos , cos , cos  . Тогда произ-
                                                                                   
водная от функции u  f ( x, y, z ) в точке M 0 по направлению вектора 
может быть найдена по формуле:
         u ( M 0 ) u ( M 0 )         u ( M 0 )         u ( M 0 )
                              cos              cos              cos  . (11.11)
                     x                 y                 z


                                                      9