Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 9 стр.

ПГУ                                                Каф ВиПМ
              Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

той же области. Будем называть эти производные частными производными
первого порядка.
     Производные этих функций будут частными производными второго
порядка, т.е.
                   z   2 z                             z   2 z
                                  ( x, y );
                                 f xx                                         ( x, y );
                                                                            f yy
                 x  x  x 2                           y  y  y 2

                  z   2 z                                 z   2 z
                                 ( x, y );
                                f xy                                             ( x, y ).
                                                                               f yx
                y  x  xy                               x  y  yx
     Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим част-
ные производные более высоких порядков.
                                           2 z 2 z   3 z     3 z
       Частные производные вида                ;     ;      ;            и т.д. назы-
                                          xy yx xyx xyy
ваются смешанными производными.
          Теорема. Если функция f ( x, y) и ее частные производные
 f x , f y , f xy
                  , f yx
                         определены и непрерывны в точке M ( x, y ) и ее окрестно-
сти, то верно соотношение:
                                                2 f   2 f
                                                           .
                                                xy yx
     Т.е. частные производные высших порядков при этих и аналогичных
условиях не зависят от порядка дифференцирования.
     Подобным же образом определяются полные дифференциалы высших
порядков.
                                    z    z
                                dz  dx  dy ;
                                    x    y
                                         2 z                2 z        2 z
                    d 2 z  d  dz            (dx) 2  2        dxdy       ( dy )2 ;
                                         x 2                xy        y 2

                            3 z                  3 z                   3 z                3 z
          3
                   
         d zd d z  2
                            x   3
                                         3
                                     (dx )  3
                                                   2
                                                 x y
                                                             2
                                                         dx dy  3
                                                                      xy      2
                                                                                       2
                                                                                    dxdy 
                                                                                             y   3
                                                                                                      (dy )3 ;

                              …………………
      Символически можно записать
                                                                     n
                                         n          
                                       d z   dx  dy  z .
                                              x  y 



                                                   8