Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 11 стр.

ПГУ                                               Каф ВиПМ
             Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

В случае функции двух переменных z  f ( x, y ) формула упрощается:
                       z ( M 0 ) z ( M 0 )         z ( M 0 )
                                            cos              sin  ,         (11.12)
                                   x                 y
                            
так как cos   cos      sin , cos   0 .
                       2     
                                            
       Производная по направлению  характеризует скорость изменения
                                              u
функции по этому направлению. Если                0 , то функция u  f ( x, y, z ) воз-
                                              
                                   u
растает в направлении  , если          0 , то функция u  f ( x, y, z ) в направле-
                                    
                               u
нии  убывает. Величина            представляет собой мгновенную скорость из-
                                
                                                                 
менения функции u  f ( x, y, z ) в точке M 0 в направлении  . Частные произ-
            u u u
водные           , ,      можно рассматривать как производные от функции
            x y z
u  f ( x, y, z ) по направлению координатных осей Ox, Oy, Oz .
     Вектор, координатами которого являются значения частных производ-
ных функции u ( x, y, z ) в точке M ( x, y, z ) , называется градиентом функции
                                        u        u   u
и обозначается grad u , т.е. grad u  i             j k.
                                        x        y   z
                               z    z
В частном случае, grad z         i  j.
                               x    y
     Рассмотрим единичный вектор λ  cos  i  cos  j  cos  k и некоторую
функцию u ( x, y, z ) и найдем скалярное произведение векторов λ и grad u .
                                 u        u          u
                      grad u  λ   cos   cos   cos  .                (11.13)
                                 x        y          z
     Выражение, стоящее в правой части (11.13) равенства является произ-
                                                                  u
водной функции u ( x, y, z ) по направлению λ . Т.е. grad u  λ     . Если угол
                                                                  
между векторами grad u и λ обозначить через , то скалярное произведение
можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла
между ними. С учетом того, что вектор λ единичный, т.е. его модуль равен
единице, можно записать:
                                 u
                                     grad u  cos  .                    (11.14)
                                 


                                             10