Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 12 стр.

ПГУ                                                Каф ВиПМ
              Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

     Выражение, стоящее в правой части равенства (11.14) и является про-
екцией вектора grad u на вектор λ .
      Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента
скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего
изменения некоторого скалярного поля u ( x, y, z ) в какой- либо точке. В фи-
зике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давле-
ния и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого
роста функции.
      С точки зрения геометрического представления градиент направлен
перпендикулярно поверхности (линии) уровня функции.

                       Экстремум функции двух переменных
       Точка M 0 ( x0 , y0 ) называется точкой локального максимума (миниму-
ма) функции z  f ( x, y ) , если для всех точек M ( x, y ) , отличных от
M 0 ( x0 , y0 ) и принадлежащих достаточно малой ее окрестности, выполняется
неравенство f ( x0 , y0 )  f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  f ( x, y )  .
       Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.
Точка, в которой достигается экстремум функции, называется точкой экс-
тремума функции.
       Теорема 1 (необходимые условия экстремума).
       Если точка M 0 ( x0 , y0 ) является точкой экстремума функции
z  f ( x, y ) , то f x ( x0 , y0 )  f y ( x0 , y0 )  0 или хотя бы одна из этих производ-
ных не существует.
       Точки, для которых эти условия выполнены, называются стацио-
нарными или критическими. Точки экстремума всегда являются стационар-
ными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы
стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться доста-
точные условия экстремума.
       Для того чтобы сформулировать достаточные условия экстремума
функции          двух     переменных,          введем           следующие       обозначения:
       ( x0 , y0 ), B  f xy
A  f xx                                           ( x0 , y0 ) и   AC  B 2 .
                             ( x0 , y0 ), C  f yy
      Теорема 2 (достаточные условия экстремума).
      Пусть функция z  f ( x, y ) имеет непрерывные частные производные
до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей ста-
ционарную точку M 0 ( x0 , y0 ) . Тогда:
     1) если   0 , то точка M 0 ( x0 , y0 ) является точкой экстремума для
данной функции, причем M 0 будет точкой максимума при A  0  C  0  и


                                              11