Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
12
точкой минимума при
00AC;
2) если 0 , то в точке
000
(, )
M
xy
экстремума нет;
3) если 0 , то экстремум может быть, а может и не быть.
Отметим, что случай 3 требует дополнительных исследований.
Экстремум функции (, )zfxy
найденный при условии (, ) 0
x
y,
называется условным. Уравнение (, ) 0
x
y
называется уравнением связи.
Тогда (, ())zfxyx и
dz f f dy
dx x y dx


.
В точках экстремума:
dz f f dy
dx x y dx


=0. (11.15)
Кроме того:
0
dy
xydx


. (11.16)
Умножим равенство (11.16) на чи
сло и сложим с равенством (11.15),
получим:
0
f f dy dy
xydx xydx






или
0
ffdy
xx yydx






 


.
Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный
коэффициент так, чтобы выполнялась система трех уравнений:
0,
0,
(, ) 0.
f
xx
f
yy
xy







(11.17)
Полученная система уравнений представляет собой необходимое усло-
вие условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. По-
этому при нахождении критических точек требуется их дополнительное ис-
следование на экстремум. 
ПГУ                                              Каф ВиПМ
            Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

точкой минимума при A  0  C  0  ;
     2) если   0 , то в точке M 0 ( x0 , y0 ) экстремума нет;
     3) если   0 , то экстремум может быть, а может и не быть.
Отметим, что случай 3 требует дополнительных исследований.

     Экстремум функции z  f ( x, y ) найденный при условии ( x, y )  0 ,
называется условным. Уравнение ( x, y )  0 называется уравнением связи.
                                   dz f f dy
      Тогда z  f ( x, y ( x)) и             .
                                   dx x y dx

      В точках экстремума:
                                    dz f f dy
                                              =0.                     (11.15)
                                    dx x y dx
      Кроме того:
                                       dy
                                              0.                      (11.16)
                                     x y dx
     Умножим равенство (11.16) на число  и сложим с равенством (11.15),
получим:
                          f f dy           dy 
                          x  y dx     x  y dx   0   или
                                                      
                              f    f   dy
                                       0.
                              x x   y y  dx
      Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный
коэффициент  так, чтобы выполнялась система трех уравнений:
                               f       
                               x   x  0,
                              
                               f       
                                          0,                 (11.17)
                               y       y
                              ( x, y )  0.
                              
                              
      Полученная система уравнений представляет собой необходимое усло-
вие условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. По-
этому при нахождении критических точек требуется их дополнительное ис-
следование на экстремум.



                                          12

Страницы