Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
7
Полный дифференциал функции (, , )uxyz равен:
1
0,04 0,01 0,02 1 0,04 0 0,01 0,02
2
uuu
du
xyz



0,04 0,01 0,05
, следовательно,
1,99
1, 04 ln 1, 02 (1,2,1) 1 0,05 1,05udu
 .
Производные сложных и неявных функций
Функция
(, )zfuv
, где (, ), (, )uxyvxy
, называется сложной
функцией. Для нахождения частных производных сложной функции приме-
няются формулы
zzuzv
x
ux vx



и
z
zu zv
yuyvy



. (11.4)
Если (), ()uxvx  , то
1
((),()) ()
z
fux vx f x
и тогда формула
нахождения производной примет вид:
dz z du z dv
dx u dx v dx


. (11.5)
Если же
(, ())zfxyx
, то из последней формулы, в силу того, что
ux , а ()vyx , получим:
dz z z dy
dx x y dx


. (11.6)
Если уравнение (, ) 0Fxy
задаёт некоторую функцию ()yx в неявном
виде и
(, ) 0
y
Fxy
, то
(, )
(, )
x
y
Fxy
dy
dx F x y

. (11.7)
Если уравнение (, , ) 0Fxyz
задаёт функцию двух переменных
(, )zfxy
в неявном виде и
(, , ) 0
z
Fxyz
, то справедливы формулы
(, , )
(, , )
x
z
Fxyz
z
x
Fxyz

и
(, , )
(, , )
y
z
Fxyz
z
yFxyz

. (11.8)
Частные производные высших порядк
ов
Если функция
(, )zfxy
определена в некоторой области
D
, то ее ча-
стные производные
(, )
x
z
f
xy
x
и
(, )
y
z
f
xy
y
также будут определены в 
ПГУ                                                 Каф ВиПМ
               Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Полный дифференциал функции u ( x, y, z ) равен:
              u          u          u                        1
du  0,04        0,01      0,02      1  0,04  0  0,01   0,02 
              x          y          z                        2
     0,04  0,01  0,05 , следовательно,

 1,041,99  ln1,02  u (1,2,1)  du  1  0,05  1,05 .

                  Производные сложных и неявных функций
     Функция z  f (u, v) , где u  ( x, y ), v   ( x, y ) , называется сложной
функцией. Для нахождения частных производных сложной функции приме-
няются формулы
                z z u z v                z z u z v
                                     и                          .          (11.4)
                x u x v x               y u y v y
       Если u  ( x), v   ( x) , то z  f (u( x), v( x))  f1( x) и тогда формула
нахождения производной примет вид:
                                    dz z du z dv
                                                       .                        (11.5)
                                    dx u dx v dx
       Если же z  f ( x, y( x)) , то из последней формулы, в силу того, что
u  x , а v  y ( x) , получим:
                                     dz z z dy
                                               .                               (11.6)
                                     dx x y dx
     Если уравнение F ( x, y )  0 задаёт некоторую функцию y ( x) в неявном
виде и Fy ( x, y )  0 , то
                                        dy   F  ( x, y )
                                            x           .                      (11.7)
                                        dx   Fy ( x, y )
       Если уравнение F ( x, y, z )  0 задаёт функцию двух переменных
z  f ( x, y) в неявном виде и Fz ( x, y, z )  0 , то справедливы формулы
                          z    Fx ( x, y, z )   z    Fy ( x, y, z )
                                              и                     .        (11.8)
                          x    Fz ( x, y, z )   y    Fz ( x, y, z )


                  Частные производные высших порядков
     Если функция z  f ( x, y) определена в некоторой области D , то ее ча-
                  z                   z
стные производные     f x ( x, y ) и     f y ( x, y ) также будут определены в
                  x                   y



                                             7

Страницы