Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 6 стр.

ПГУ                                              Каф ВиПМ
            Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

      Свойство 3. Функция f ( x, y) , непрерывная в замкнутой ограниченной
области D, ограничена в этой области, т.е. существует такое число К, что для
всех точек области верно неравенство f ( x, y )  K .

        Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
     Пусть в некоторой области задана функция z  f ( x, y) . Возьмем произ-
вольную точку M ( x, y ) и дадим переменной x приращение x , оставив y
постоянной величиной, тогда функция z  f ( x, y) получит приращение  x z ,
называемое частным приращением функции по переменной x :
                             x z  f ( x  x , y )  f ( x , y ) .
                                       xz
      Тогда, если существует        lim    , то он называется частной произ-
                                 x  0 x
водной функции z  f ( x, y) по переменной x .
                   z          f ( x, y )
      Обозначение:    ; z x ;             ; f x ( x, y ).
                   x             x
      Аналогично определяется частная производная функции по переменной
y:
                                z        f ( x, y  y )  f ( x, y )
                                     lim                              .
                                y y  0             y
       Полным приращением функции f ( x, y) называется                     выражение
z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) .
      Функция f ( x, y) называется дифференцируемой в точке M ( x, y ) , если
её полное приращение в этой точке можно представить в виде:
                   f ( x, y )      f ( x, y )
             z               x              y  1x   2 y ,   (11.1)
                      x               y
где 1 и 2 – бесконечно малые функции при x  0 и y  0 .
      Полным дифференциалом функции z  f ( x, y) называется главная
часть полного приращения функции, линейная относительно x и у и обо-
значаемая dz . Если функция имеет непрерывные частные производные, то
полный дифференциал существует и равен
                       dz  f x ( x, y ) dx  f y ( x, y ) dy , (11.2)
где dx  x, dy  y - приращения независимых переменных, равные их
дифференциалам.




                                           5