Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 5 стр.

ПГУ                                              Каф ВиПМ
            Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

        Определение функции двух переменных легко обобщить на случай
трёх и большего числа переменных. Величина y называется функцией пере-
менных x1 , x2 , ..., xn , если каждой совокупности ( x1 , x2 , ..., xn ) переменных
x1 , x2 , ..., xn из некоторой области n - мерного пространства соответствует
определённое значение y , что записывается в виде y  f ( x1 , x2 , ..., xn ) . Так
как совокупность значений ( x1 , x2 , ..., xn ) определяет точку n - мерного
пространства M ( x1 , x2 , ..., xn ) , то всякую функцию нескольких переменных
можно рассматривать как функцию точек M пространства соответствующей
размерности, а именно, y  f ( M ) .
       - окрестностью точки M 0 ( x0 , y0 ) называется совокупность всех
точек ( x, y ) , которые удовлетворяют условию          x  x0 2   y  y0 2   .
      Число А называется пределом функции z  f ( x, y) в точке M 0 ( x0 , y0 ) ,
если для любого числа   0 найдется такое число   0 , что для любой точ-
ки M ( x, y ) , принадлежащей  - окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ) выполня-
ется условие f ( x, y )  A   .
      Записывают: lim f ( x, y )  A .
                     x  x0
                     y  y0
        Пусть точка M 0 ( x0 , y0 ) принадлежит области определения функции
f ( x, y) . Тогда функция z  f ( x, y) называется непрерывной в точке
M 0 ( x0 , y0 ) , если справедливо равенство lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) ,
                                              x  x0
                                              y  y0
причем точка M ( x, y ) стремится к точке M 0 ( x0 , y0 ) произвольным обра-
зом.
      Свойство 1. Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной об-
ласти D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один
раз наименьшего.
      Свойство 2. Если функция f ( x, y) определена и непрерывна в замкну-
той ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наи-
меньшее значения функции в этой области, то для любой точки    m, M 
существует точка ( x0 , y0 ) такая, что f ( x0 , y0 )   .
     Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все про-
межуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может слу-
жить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D по
крайней мере один раз функция обращается в ноль.



                                         4