Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
6
Для функции произвольного числа переменных:
( , , ,..., ) ...
f
ff
df x y z t dx dy dt
x
yt



Пример 1
. Найти полный дифференциал функции
2
y
z
ux .
Решение.
Для функции трёх переменных полный дифференциал
имеет вид:
uuu
du dx dy dz
x
yz



.
Найдём частные производные
22 2
21 2
;ln2;ln
yz yz yz
uu u
yzx x x yz x xy
xy z



.
Следовательно,
22 2
21 2
2ln ln
yz yz yz
du y zx dx x yz xdy y x xdz
 .
Полный дифференциал часто используется для
приближённых вычис-
лений значений функций
. Запишем полное приращение функции
(, )zfxy
: ( , ) ( , )zfx xy y fxy    , откуда можно выразить
(, )(,)
f
xxyyfxy z
 .
Если подставить в эту формулу выражение
f
z
dz x y
x
y



, то
получим приближенную формулу:
(, )(,)
f
xxyyfxydz   или
(, ) (, )
(, )(,)
fxy fxy
f
xxyyfxy x y
xy
  

. (11.3)
Пример 2.
Вычислить приближенно значение
1,99
1, 04 ln 1, 02 , ис-
ходя из значения функции
ln
y
ux z
при 1, 2, 1
x
yz
.
Решение.
Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04,
y = 1,99 – 2 = –0,01, z = 1,02 – 1 = 0,02.
Найдем значение функции ( , , )uxyz
2
1ln11
.
Находим частные производные и вычисляем их значения при
1, 2, 1
x
yz:
1
21
1
21
2ln
y
y
uyx
x
xz


;
ln
0
2ln
y
y
uxx
y
xz
;
1
1
2
2ln
y
u
z
z
xz
. 
ПГУ                                               Каф ВиПМ
             Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

       Для функции произвольного числа переменных:
                                            f   f         f
                     df ( x, y, z,..., t )  dx  dy  ...  dt
                                            x   y         t
                                                                                           2
     Пример 1. Найти полный дифференциал функции u  x y z .
     Решение. Для функции трёх переменных полный дифференциал
имеет вид:
                             u    u     u
                         du  dx  dy  dz .
                             x    y     z
Найдём частные производные
            u           2      u      2                             u      2
                y 2 zx y z 1;     x y z ln x  2 yz;                   x y z ln x  y 2 .
            x                  y                                    z
                            2               2                      2
Следовательно, du  y 2 zx y z 1 dx  2 x y z yz ln x dy  y 2 x y z ln x dz .

       Полный дифференциал часто используется для приближённых вычис-
лений значений функций. Запишем полное приращение функции
z  f ( x, y) : z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) , откуда можно выразить
                                 f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  z .
                                                                                f     f
       Если подставить в эту формулу выражение z  dz                            x  y , то
                                                                                x     y
получим приближенную формулу:
                     f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  dz или
                                                   f ( x, y )      f ( x, y )
             f ( x  x, y  y )  f ( x, y )                x              y .            (11.3)
                                                      x               y

       Пример 2. Вычислить приближенно значение 1,041,99  ln1,02 , ис-
ходя из значения функции u  x y  ln z при x  1,                     y  2,     z  1.
      Решение. Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04,
y = 1,99 – 2 = –0,01, z = 1,02 – 1 = 0,02.
Найдем значение функции u ( x, y, z )  12  ln1  1 .
Находим частные производные и вычисляем их значения при
x  1, y  2, z  1 :
                                                                                       1
             y 1                                  y
u   yx         2 1      u   x ln x                                u              1z
                     1;                 0;                                      .
x 2 x y  ln z 2 1        y 2 x y  ln z                            z 2 x y  ln z 2

                                                   6

Страницы