Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 19 стр.

ПГУ                                                        Каф ВиПМ
                                        Контрольная работа № 6


                                                x x 2  y 2 
                                                             
       2 z   z          y                               x
                                       y                     
          2 x  x                              2 2        2
      x                     2     2               x (x  y )
                        x x y x
                              x
             x2  y 2  x
                           x2  y 2         y (2 x 2  y 2 )
       y                                                 ,
                  2 2      2               2 2         2 32
                 x (x  y )               x (x  y )
                                    
      2 z   z  
     y
              
        2 y y
                         2
                              1
                                 2
                           x y y                     
                                        ( x 2  y 2 )1 2   1 
                                                                   2   2
                                                                         2 y
                                                                              
                                                                            2 32
                                                                     (x  y )
                                                                                 
                      
                 y
                           .
          ( x 2  y 2 )3 2
                       2 z   2 z
3) Убедимся в том, что            . Действительно,
                       xy yx
                              
    2 z    z  
            
    xy x  y      2
                          1
                             2 
                       x y x                          x
                                                         
                                  ( x 2  y 2 )1 2  
                                                             2
                                                                x
                                                                  2 32
                                                           (x  y )
                                                                       ,       
                   
                                      2
                                           2
                                                    x x 2  y 2 
                               x x     y      y                
 2 z    z        y       
                                                                  y
                                                                  
 yx y  x   x x 2  y 2              x2 ( x2  y 2 )
                             y
                                 y
    x x 2  y 2  xy
                             x2  y 2       x3  xy 2  xy 2                  x
                                                                                       .
             x2 ( x2  y 2 )                x 2 ( x 2  y 2 )3 2       ( x 2  y 2 )3 2

        281-290. Дана функция z  4 x 2  y 2  4 y и две точки А(2; 4) и
В(1,96; 4,16). 1) Найти приближённое значение данной функции в точке В,
исходя из её точного значения в точке А и заменяя приращение z диффе-
ренциалом dz . 2) Составить уравнение касательной плоскости к поверхности
z  f ( x, y ) в точке С( x0 ; y0 ; z0 ).
       Решение.
       1) Применим формулу приближённого вычисления функции
                 f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  dz ( x0 , y0 ) .



                                                       18