Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 6
20
Следовательно,
00
12 3
() 12, () 3
11
zz
MM
xy



.
301 -310. Даны функция
x
y
z
yx
, точка
0
(1, 2)M
и вектор
12 5aij


. Найти: 1) grad z в точке
0
M
; 2) производную в точке
0
M
по
направлению вектора a
.
Решение.
1) Для нахождения grad z
надо вычислить значения частных произ-
водных функции (, )zfxy
в заданной точке. Имеем
2
(1, 2)
13
2
x
zxy y
xyx y
x




;
2
(1, 2)
13
4
y
zxy x
yyx x
y




. Следовательно,
33
grad .
24
z
ij

2) Найдём производную от функции
x
y
z
yx
в точке
0
(1, 2)M
по на-
правлению вектора 12 5aij
. Воспользуемся формулой
00 0
() () ()
cos sin
zM zM zM
ax y



. Значения частных производных были
вычислены в предыдущем пункте
00
() ()
33
,
24
zM zM
xy


. Найдём
22
12 12
cos
13
12 ( 5)
x
a
a


,
22
55
sin
13
12 ( 5)
y
a
a


, тогда
312 3 5 87
213 4 13 52
z
a

 


. 0
z
a
, следовательно, функция
x
y
z
yx

в
точке
0
(1, 2)M
по направлению вектора 12 5aij
убывает.
311 -320. Исследовать на экстремум функцию
33
3zx y xy .
Решение.
Так как в данном случае
2
33,
z
x
y
x

2
33
z
yx
y

, то для нахождения стационарных точек составляем систему 
ПГУ                                                 Каф ВиПМ
                                 Контрольная работа № 6

                           z            12           z           3
       Следовательно,         ( M 0 )    12,         (M 0 )    3 .
                           x             1           y           1

                                       x y
      301 -310. Даны функция z   , точка M 0 (1, 2) и вектор
                                       y x
          
a  12i  5 j . Найти: 1) grad z в точке M 0 ; 2) производную в точке M 0 по
                         
направлению вектора a .
     Решение.
     1) Для нахождения grad z надо вычислить значения частных произ-
водных функции z  f ( x, y ) в заданной точке. Имеем

z  x y   1  y          3
                    ;
x  y x  x y x 2 (1,2)   2

z  x y    x 1        3                           3 3 
                  . Следовательно, grad z   i  j .
y  y x  y y 2 x (1,2) 4                           2   4

                                                              x y
       2) Найдём производную от функции z                         в точке M 0 (1, 2) по на-
                                                              y x
                                                
правлению          вектора          a  12i  5 j .         Воспользуемся         формулой
z ( M 0 ) z ( M 0 )         z ( M 0 )
                     cos              sin  . Значения частных производных были
   a         x                 y
                                                   z ( M 0 )    3 z ( M 0 ) 3
вычислены в предыдущем пункте                                   ,           . Найдём
                                                      x         2      y      4
          a           12          12                     ay          5           5
cos   x                      ,              sin                         , тогда
           a    122  ( 5)2 13                           a      122  (5)2     13
 z    3 12 3  5          87 z                                  x y
            .             0 , следовательно, функция z   в
a     2 13 4  13         52 a                                  y x
                                                  
точке M 0 (1, 2) по направлению вектора a  12i  5 j убывает.

       311 -320. Исследовать на экстремум функцию z  x3  y 3  3 xy .
                                                           z
       Р е ш е н и е . Так как в данном случае                 3 x 2  3 y,
                                                           x
z
    3 y 2  3 x , то для нахождения стационарных точек составляем систему
y




                                             20

Страницы