Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
22
Тема 12. Дифференциальные уравнения
Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 10.
Пискунов Н. С., часть 2, гл. 13.
Письменный Д.Т., часть 2, § 1-5.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 2, гл. 4.
Дифференциальным уравнением
(ДУ) называется уравнение, связы-
вающее независимые переменные, их функцию и производные (или диффе-
ренциалы) этой функции.
Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую перемен-
ную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если
же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное
уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производ-
ных.
Порядком дифференциального уравнения
называется наивысший поря-
док производных, входящих в уравнение.
Например,
3
850xy y x
 - обыкновенное дифференциальное уравне-
ние 1 – го порядка.
2
2
2
dy dy
x
xy x y
dx
dx
 - обыкновенное дифференциальное
уравнение 2 – го порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотно-
шение, связывающее независимую переменную
x
, неизвестную функцию y
и её первую производную
y
, т.е. соотношение вида:
( , , ) 0
Fxyy
(12.1)
Если это уравнение можно преобразовать к виду
( , )
yfxy
, (12.2)
то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться урав-
нением,
разрешенным относительно производной.
Преобразуем уравнение (12.2):
(, ); (, ) ; (, ) 0;
dy
fxy dy fxydx fxydx dy
dx
 
ПГУ                                                Каф ВиПМ
                              Дифференциальные уравнения



                 Тема 12. Дифференциальные уравнения
      Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 10.
      Пискунов Н. С., часть 2, гл. 13.
      Письменный Д.Т., часть 2, § 1-5.
      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 2, гл. 4.

      Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связы-
вающее независимые переменные, их функцию и производные (или диффе-
ренциалы) этой функции.
     Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую перемен-
ную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если
же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное
уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производ-
ных.
     Порядком дифференциального уравнения называется наивысший поря-
док производных, входящих в уравнение.
Например,    x3 y   8 y  x  5  0 - обыкновенное дифференциальное уравне-
                        d2y          dy
ние 1 – го порядка. x          xy       x 2  y - обыкновенное дифференциальное
                     dx 2            dx
уравнение 2 – го порядка.

               Дифференциальные уравнения первого порядка
      Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотно-
шение, связывающее независимую переменную x , неизвестную функцию y
и её первую производную y  , т.е. соотношение вида:
                                 F ( x, y, y )  0                       (12.1)
      Если это уравнение можно преобразовать к виду
                            y   f ( x, y ) ,                            (12.2)
то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться урав-
нением, разрешенным относительно производной.
      Преобразуем уравнение (12.2):
                dy
                    f ( x, y ); dy  f ( x, y )dx; f ( x, y )dx  dy  0;
                dx




                                            22

Страницы