Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
24
Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение (12.2) называется уравнением с разде-
ляющимися переменными
, если его можно записать в виде
12
() ()yfxfy
. (12.4)
Учитывая тот факт, что
dy
y
dx
, уравнение (12.4) можно записать в
виде:
12
() ()
dy
f
xf y
dx
или
12
() ()dy f x f y dx
.
Разделив последнее уравнение на
2
() 0fy
, получим уравнение с раз-
делёнными переменными
:
1
2
()
()
dy
f
xdx
fy
. Проинтегрировав обе части этого
уравнения, получаем:
121
2
() ; () ()
()
dy
f
xdx F y F x C
fy


- общий инте-
грала уравнения (12.4).
Дифференциально
е уравнение (12.3) будет уравнением с разделяющи-
мися переменными, если его можно записать в виде:
11 2 2
() () () () 0PxQ ydx P xQ ydy
. (12.5)
Разделив почленно уравнение (12.5) на
12
() () 0Qy Px
, получим уравнение
с разделёнными переменными
12
21
() ()
0
() ()
Px Q y
dx dy
Px Qy
, проинтегрировав ко-
торое почленно, получим общий интеграл уравнения (12.5):
12
21
() ()
() ()
Px Q y
dx dy C
Px Qy

.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее реше-
ние находится постоянная величина
С, и, соответственно, частное решение.
Пример 1.
Решить уравнение
2
(1).yxy
Решение.
Сделав замену
dy
y
dx
и разделив переменные, получим:
22
;;
11
dy dy
dx dx
yy


2. 2
arctg ; tg .
22
xx
yCy C





Таким образом нашли общее решение заданного уравнения. 
ПГУ                                              Каф ВиПМ
                            Дифференциальные уравнения


                Уравнения с разделяющимися переменными
    Дифференциальное уравнение (12.2) называется уравнением с разде-
ляющимися переменными, если его можно записать в виде
                           y   f1 ( x) f 2 ( y ) .         (12.4)
                                       dy
        Учитывая тот факт, что y        , уравнение (12.4) можно записать в
                                       dx
                 dy
виде:                f1 ( x) f 2 ( y ) или dy  f1 ( x) f 2 ( y )dx .
                 dx
      Разделив последнее уравнение на f 2 ( y )  0 , получим уравнение с раз-
                                dy
делёнными переменными:                  f1 ( x)dx . Проинтегрировав обе части этого
                              f2 ( y)
                           dy
уравнения, получаем: 
                          f2 ( y) 
                                    f1 ( x)dx; F2 ( y )  F1 ( x)  C - общий инте-

грала уравнения (12.4).
      Дифференциальное уравнение (12.3) будет уравнением с разделяющи-
мися переменными, если его можно записать в виде:
                    P1 ( x)Q1 ( y )dx  P2 ( x)Q2 ( y )dy  0 .                 (12.5)
Разделив почленно уравнение (12.5) на Q1 ( y )  P2 ( x)  0 , получим уравнение
                                P ( x)       Q ( y)
с разделёнными переменными 1            dx  2        dy  0 , проинтегрировав ко-
                                P2 ( x)      Q1 ( y )
торое почленно, получим общий интеграл уравнения (12.5):
                            P1 ( x)         Q2 ( y )
                           P2 ( x) dx    Q1 ( y) dy  C .
      Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее реше-
ние находится постоянная величина С, и, соответственно, частное решение.
        Пример 1. Решить уравнение y   x( y 2  1).
                                       dy
        Решение. Сделав замену y        и разделив переменные, получим:
                                       dx
                               dy              dy
                               2
                              y 1
                                    dx;      2
                                              y 1
                                                     dx;

                                    x 2.        x2     
                          arctg y        C;
                                        y  tg      C .
                                     2          2      
                                                       
Таким образом нашли общее решение заданного уравнения.


                                          24

Страницы