Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
26
Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что
1
t
x
.
Тогда получаем:
(, ) 1,
y
fxy f
x



.
Правая часть полученного равенства зависит фактически только от од-
ного аргумента
y
u
x
, т.е. (, ) ();
y
f
xy u
x

 


Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать
в виде:
()
yu
Далее заменяем
y = ux, yuxux

.
()
(); (); .
uu
ux ux u ux u u u
x


В итоге получили уравнение с разделяющимися переменными относительно
неизвестной функции
u. Решаем его:
;;
() ()
du dx du dx
C
uux uu x

 

Затем, найдя интегралы и сделав обратную замену, получим общее
решение однородного дифференциального уравнения.
Пример 4.
Решить уравнение ln 1
yy
y
xx



.
Решение.
Введем вспомогательную функцию u.
;;
y
uyuxyuxu
x

.
Подставляем в исходное уравнение:
(ln 1); ln ; ln ;ux u u u ux u u u u ux u u

  
Разделяем переменные:
;;
ln ln
du dx du dx
uu x uu x

Интегрируя, получаем:
ln ln ln ; ln ; ;
Cx
uxCuCxue
Переходя от вспомогательной функции к функции
у, получаем общее
решение:
.
Cx
yxe 
ПГУ                                              Каф ВиПМ
                            Дифференциальные уравнения

                                                                          1
      Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что t       .
                                                                          x
                                y
Тогда получаем: f ( x, y )  f 1,  .
                                x
      Правая часть полученного равенства зависит фактически только от од-
                     y                    y
ного аргумента u  , т.е. f ( x, y )      (u );
                     x                   x
      Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать
в виде:
                                       y   (u )
      Далее заменяем y = ux, y   u x  ux .
                                                               (u )  u
                    u x  ux  (u ); u x  u  (u ); u            .
                                                                   x
В итоге получили уравнение с разделяющимися переменными относительно
неизвестной функции u. Решаем его:
                            du        dx         du         dx
                                     ;                   C;
                        (u )  u x           (u )  u      x
     Затем, найдя интегралы и сделав обратную замену, получим общее
решение однородного дифференциального уравнения.
                                             y y         
     Пример 4. Решить уравнение y    ln  1 .
                                             x x         
     Решение. Введем вспомогательную функцию u.
                                   y
                              u  ; y  ux; y   u x  u .
                                   x
Подставляем в исходное уравнение:
               u x  u  u (ln u  1); u x  u  u ln u  u; u x  u ln u;
                           du    dx         du          dx
Разделяем переменные:            ;
                          u ln u x        u ln u      x
                                                           ;

Интегрируя, получаем: ln ln u  ln x  C ; ln u  Cx; u  eCx ;
     Переходя от вспомогательной функции к функции у, получаем общее
решение:
                                          y  xeCx .




                                          26

Страницы