Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
28
()
1
()
Pxdx
Cv Q x e dx C

;
()
2
1
()
Pxdx
vQxe dxC
C
;
Подставляем найденные функции в произведение:
() ()
2
1
()
P x dx P x dx
yuvCe Qxe dxC
C


.
Окончательно получаем

() ()
2
()
P x dx P x dx
ye Qxe dxC


, где С
2
– произвольная посто-
янная.
Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциаль-
ных уравнений также называют методом
вариации произвольной постоян-
ной
. Первый шаг данного метода состоит в решении соответствующего од-
нородного уравнения
() 0yPxy
,
общее решение которого имеет вид:
()
1
Pxdx
yCe
.
Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного диф-
ференциального уравнения, будем считать постоянную
1
C
некоторой функ-
цией, зависящей от
x
.
Тогда по правилам дифференцирования произведения функций полу-
чаем:
() ()
1
1
()
() ( ());
Pxdx Pxdx
dC x
dy
yeCxePx
dx dx



Подставляем полученное соо
тношение в исходное уравнение
() () ()
1
11
()
() () () () ()
P x dx P x dx P x dx
dC x
eCxPxe PxCxe Qx
dx


 ;
()
1
()
().
Pxdx
dC x
eQx
dx
Из этого уравнения определим функцию
1
()Cx:
()
1
() () ;
Pxdx
dC x Q x e dx
Интегрируя, получаем:
()
1
() ;
Pxdx
CQxe dxC
Подставляя это значение в исходное уравнение:
() ()
()
Pxdx Pxdx
ye Qxe dxC


. 
ПГУ                                                         Каф ВиПМ
                                       Дифференциальные уравнения

                                                       1
               Cv   Q( x)e  P ( x) dx dx  C1 ;          Q( x)e  P ( x ) dx dx  C2 ;
                                                                     v
                                                       C
       Подставляем найденные функции в произведение:

                  y  uv  Ce  P ( x) dx 
                                             1
                                             C                 
                                                 Q( x)e  P ( x) dx dx  C2 .               
       Окончательно получаем
        y  e  P ( x ) dx      Q( x)e P( x)dx dx  C2  ,        где С2 – произвольная посто-
янная.
     Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциаль-
ных уравнений также называют методом вариации произвольной постоян-
ной. Первый шаг данного метода состоит в решении соответствующего од-
нородного уравнения
                               y   P( x) y  0 ,
общее решение которого имеет вид:
                                                    y  C1e  P ( x) dx .
      Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного диф-
ференциального уравнения, будем считать постоянную C1 некоторой функ-
цией, зависящей от x .
      Тогда по правилам дифференцирования произведения функций полу-
чаем:
                       dy dC1 ( x)   P ( x ) dx
                 y                    e               C1 ( x)e  P ( x) dx  ( P ( x));
                       dx         dx
      Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
         dC1 ( x)   P ( x ) dx
                 e               C1 ( x) P( x)e  P ( x) dx  P( x)C1 ( x)e  P ( x) dx  Q( x) ;
           dx
                                       dC1 ( x)   P ( x) dx
                                               e               Q( x).
                                          dx
Из этого уравнения определим функцию C1 ( x) :
                                             dC1 ( x)  Q( x)e  P ( x) dx dx;
Интегрируя, получаем:
                                            C1   Q( x)e  P ( x) dx dx  C ;
Подставляя это значение в исходное уравнение:
                                     y  e  P ( x ) dx     Q( x)e P( x)dx dx  C  .

                                                           28

Страницы