Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 31 стр.

ПГУ                                                     Каф ВиПМ
                                   Дифференциальные уравнения

       Решения ДУ, записанные в виде  ( x, y , C1 , C2 )  0 и  ( x, y, C10 , C20 )  0
называются соответственно, общим и частным интегралом соответственно.
       Как и в случае уравнения первого порядка задача нахождения частного
решения ДУ, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется
задачей Коши.
       Теорема Коши (теорема существования и единственности решения
дифференциального уравнения 2- го порядка).
       Если в уравнении (12.9) функция f ( x, y, y ) и её частные производные
 f y и f y  непрерывны в некоторой области D изменения переменных
x, y, y  , то какова бы не была точка ( x0 , y0 , y0 )  D , существует единст-
венное решение y  ( x) этого уравнения, удовлетворяющее начальным ус-
ловиям (12.10).
      Аналогичные понятия и определения имеют место для дифференци-
ального уравнения n – го порядка, которое записывается в виде:
F ( x, y, y ,..., y ( n) )  0 , или, если это возможно, в виде:
                                  y ( n)  f ( x, y, y ,..., y ( n 1) ).                               (12.11)
      Начальные условия для ДУ (12.11) имеют вид:
                  y ( x0 )  y0 ,       y ( x0 )  y0 , .... ,        y ( n 1) ( x0 )  y0( n 1) .
      Общим решением ДУ n - го порядка является функция вида
y  ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) , содержащая n произвольных постоянных.

                     Уравнения, допускающие понижение порядка
                                    1. Уравнения вида y ( n)  f ( x) .
     Если f ( x) – функция непрерывная на некотором промежутке  a, b  , то
решение может быть найдено последовательным интегрированием.
                                           y ( n 1)   f ( x)dx  C1;

               y ( n  2)       f ( x)dx  C1  dx  C2   dx  f ( x)dx  C1x  C2 ;
                 …………………………………………………………….


                                                    x n 1        xn  2
                 y   dx  dx.... f ( x) dx  C1           C2           ...  Cn ;
                                                   (n  1)!      (n  2)!
      Пример 5. Решить уравнение y   e2 x с начальными условиями
       y (0)  1; y (0)  1;       y (0)  0.

                                                      30