Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
29
Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с ре-
зультатом решения уравнения по методу Бернулли.
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
() () ,
n
yPxyQxy

где n – число, не равное 0 и 1.
Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку
1 n
zy
, с
помощью которой уравнение Бернулли приводится к линейному относи-
тельно
z :
(1 ) ( ) (1 ) ( )znPxznQx

.
Решив полученное уравнение одним из описанных выше методов, най-
дём (, )zzxC , а затем и
1(1 )n
yz
. Однако уравнение Бернулли, как и ли-
нейное, можно решить подстановкой Бернулли () ()yuxvx
.
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ
высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде
(, , , ) 0Fxyy y

или, если это возможно, в виде, разрешённом относительно старшей произ-
водной
(, , ).yfxyy

(12.9)
Общим решением ДУ (12.9) называет
ся функция
12
(, , )yxCC , где
1
C и
2
C - произвольные постоянные, удовлетворяющая следующим услови-
ям:
1)
12
(, , )yxCC является решением ДУ при любых значениях
1
C
и
2
C
;
2) при заданных начальных условиях
00 00
() , ()yx y y x y
(12.10)
существуют единственные значения
0
11
CC
и
0
22
CC
такие, что функция
00
12
(, , )yxCC
является решением уравнения (12.9) и удовлетворяет на-
чальным условиям (12.10).
Всякое решение
00
12
(, , )yxCC
уравнения (12.9), получающееся из
общего решения
12
(, , )yxCC
при конкретных значениях постоянных
0
11
CC
и
0
22
CC
, называется частным решением. 
ПГУ                                               Каф ВиПМ
                             Дифференциальные уравнения

      Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с ре-
зультатом решения уравнения по методу Бернулли.
      Уравнением Бернулли называется уравнение вида
                                   y   P( x) y  Q( x)  y n ,
где n – число, не равное 0 и 1.
     Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку z  y1 n , с
помощью которой уравнение Бернулли приводится к линейному относи-
тельно z :
                        z   (1  n) P( x) z  (1  n)Q( x) .
      Решив полученное уравнение одним из описанных выше методов, най-
дём z  z ( x, C ) , а затем и y  z1 (1 n) . Однако уравнение Бернулли, как и ли-
нейное, можно решить подстановкой Бернулли y  u ( x)  v( x) .

                Дифференциальные уравнения высших порядков
    Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ
высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде
                               F ( x, y, y , y )  0
или, если это возможно, в виде, разрешённом относительно старшей произ-
водной
                                 y   f ( x, y, y ).          (12.9)
     Общим решением ДУ (12.9) называется функция y  ( x, C1, C2 ) , где
C1 и C2 - произвольные постоянные, удовлетворяющая следующим услови-
ям:
     1) y  ( x, C1, C2 ) является решением ДУ при любых значениях C1 и
C2 ;
      2) при заданных начальных условиях
                          y ( x0 )  y0 , y ( x0 )  y0                  (12.10)
существуют единственные значения C1  C10 и C2  C20 такие, что функция
 y  ( x, C10 , C20 ) является решением уравнения (12.9) и удовлетворяет на-
чальным условиям (12.10).
     Всякое решение y  ( x, C10 , C20 ) уравнения (12.9), получающееся из
общего решения y  ( x, C1 , C2 ) при конкретных значениях постоянных
C1  C10 и C2  C20 , называется частным решением.



                                           29

Страницы