Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 32 стр.

ПГУ                                                  Каф ВиПМ
                                Дифференциальные уравнения

                                            1
      Решение.       y    e2 x dx  C1  e2 x  C1;
                                            2
                            1                1
                    y     e2 x  C1  dx  e2 x  C1 x  C2 ;
                            2                4
                        1                  1       1
                  y    e2 x  C1 x  C2   e2 x  C1 x 2  C2 x  C3 .
                        4                  8       2
     Получили общее решение заданного уравнения. Для нахождения его
частного    решения        подставим       заданные    начальные           условия:
   1            1               1
1   Ñ3 ;  1   C2 ; 0   C1; из которых находим значения постоян-
   8            4               2
           1            5         7
ных C1   ; C2   ; C3  . В результате получим частное решение
           2            4         8
                              1       1       5   7
(решение задачи Коши): y  e2 x  x 2  x  .
                              8       4       4   8

             2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции
      Это уравнения вида:
                                        y   f ( x, y )                       (12.12)
         Обозначим y   p , где p  p ( x) - новая неизвестная функция. Тогда
 y   p и уравнение (12.12) принимает вид p  f ( x, p) . Пусть p  ( x, C1 ) -
общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя p на y  , получа-
ем уравнение y   ( x, C1 ) , общее решение которого будет иметь вид
                                     y   ( x, C1 ) dx  C2 .
                                                                     y
      Пример 6. Найти общее решение уравнения y                        .
                                                                       x
      Решение. Применяем подстановку p  y ;                  p  y ;
                          p        dp p             dp dx              dp   dx
                   p 
                          x
                            ;         ;
                                   dx x              p
                                                        ;
                                                        x              p
                                                                           ;
                                                                             x
                                ln p  ln x  ln C1;         p  C1x;
      Произведя обратную замену, получаем:
                                                         C
                           y   C1x;       y   C1xdx  1 x 2  C2 .
                                                          2




                                              31