Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 34 стр.

ПГУ                                                   Каф ВиПМ
                                 Дифференциальные уравнения

              y ( n)  p1 y ( n 1)  p2 y ( n  2)  ...  pn 1 y   pn y  L( y ) .
     Если f ( x)  0 , то уравнение L( y )  0 называется линейным однород-
ным уравнением, если f ( x)  0 , то уравнение L( y )  f ( x) называется линей-
ным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p1, p2 , ..., pn – по-
стоянные числа, то уравнение L( y )  f ( x) называется линейным дифферен-
циальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.
     Рассмотрим ДУ вида
              y ( n)  p1 y ( n 1)  p2 y ( n  2)  ...  pn 1 y   pn y  0 .   (12.14)
      Выражение y ( n)  p1 y ( n 1)  p2 y ( n  2)  ...  pn 1 y   pn y  L( y ) назы-
вается линейным дифференциальным оператором.
      Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойст-
вами:      1) L(Cy )  CL( y );
            2) L( y1  y2 )  L( y1 )  L( y2 );
      Решения линейного однородного уравнения (12.14) обладают следую-
щими свойствами:
      1) Если функция y является решением уравнения, то функция Cy , где
С – постоянное число, также является его решением.
      2) Если функции y1 и y2 являются решениями уравнения, то y1  y2
также является его решением.
      Фундаментальной системой решений линейного однородного диффе-
ренциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая
система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
      Если из функций y1, y2 ,..., yn составить определитель n – го порядка
вида
                                      y1         y2  ... yn
                                      y1        y2 ... yn
                            W  ...              ... ... ... ,
                                        y1( n 1)    y2( n 1)
                                                ... yn( n 1)
то этот определитель называется определителем Вронского.
      Теорема. Если функции y1, y2 ,..., yn линейно зависимы, то составлен-
ный из них определитель Вронского равен нулю.
      Теорема. Если функции y1, y2 ,..., yn линейно независимы, то составлен-
ный из них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке интер-
вала (a, b) .


                                                    33