Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
35
1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:
a) каждому действительному корню соответствует решение
kx
e ;
б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответ-
ствие m решений:
1
;;... .
kx kx m kx
exe xe
в) каждой паре комплексно – сопряженных корней
i характери-
стического уравнение ставится в соответствие два решения:
cos
x
ex
и
sin
x
ex
.
г) каждой паре
m – кратных комплексно – сопряженных корней
i
характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:
1
1
cos , cos , ... cos ,
sin , sin , ... sin .
xx mx
xxmx
exxexxex
exxexxex




3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.
Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходно-
го линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными ко-
эффициентами.
Пример 8.
Решить уравнение 20.yy y


Решение.
Характеристическое уравнение:
2
20;kk
 его корни
12
1; 2kk
. Общее решение:
2
12
.
x
x
yCe Ce

Пример 9.
Решить уравнение 440.yyy


Решение.
Характеристическое уравнение:
2
440kk
 имеет крат-
ные корни
12
2kk
. В этом случае общее решение уравнения
22
12
.
x
x
yCe Cxe
Пример 10.
Решить уравнение
250.yyy


Решение.
Характеристическое уравнение:
2
250; 16kk D
 .
Дискриминант отрицательный, следовательно, уравнение имеет комплексные
сопряжённые корни
1
12ki и
2
12.ki

Здесь 1, 2
  , поэтому
общее решение уравнения запишется так:
12
(cos2 sin2).
x
ye C xC x

Пример 11.
Решить уравнение 0.
IV
yy
Решение.
Составим характеристическое уравнение:
4
10.k 
Разложим левую часть уравнения на множители и найдём его корни 
ПГУ                                             Каф ВиПМ
                           Дифференциальные уравнения

      1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
      2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:
       a) каждому действительному корню соответствует решение e kx ;
       б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответ-
ствие m решений:
                                  ekx ; xekx ; ... x m 1ekx .
       в) каждой паре комплексно – сопряженных корней   i характери-
стического уравнение ставится в соответствие два решения:
                              ex cos  x и ex sin  x .
        г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней
  i характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:
                    ex cos x, xex cos x, ... x m 1ex cos x,
                    ex sin x,   xex sin x, ...x m 1ex sin x.
      3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.
      Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходно-
го линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными ко-
эффициентами.
      Пример 8. Решить уравнение y   y   2 y  0.
      Решение.     Характеристическое уравнение: k 2  k  2  0; его корни
k1  1; k2  2 . Общее решение: y  C1e x  C2 e2 x .
      Пример 9. Решить уравнение y   4 y   4 y  0.
    Решение. Характеристическое уравнение: k 2  4k  4  0 имеет крат-
ные корни k1  k2  2 . В этом случае    общее решение уравнения
y  C1e2 x  C2 xe2 x .
      Пример 10. Решить уравнение y   2 y   5 y  0.
     Решение. Характеристическое уравнение: k 2  2k  5  0; D  16 .
Дискриминант отрицательный, следовательно, уравнение имеет комплексные
сопряжённые корни k1  1  2i и k2  1  2i. Здесь   1,   2 , поэтому
общее решение уравнения запишется так: y  e x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x).
      Пример 11. Решить уравнение y IV  y  0.
     Решение. Составим характеристическое уравнение: k 4  1  0.
Разложим левую часть уравнения на множители и найдём его корни


                                         35

Страницы