Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
36
22
12 34
(1)(1)0; 1; 1; ; .kk k k kiki
Тогда общее решение уравнения имеет вид:
12 3 4
cos sin .
xx
yCe Ce C xC x

Пример 12.
Решить уравнение 90.
V
yy

Решение.
Составляем характеристическое уравнение:
53
90;kk
32
(9)0kk и находим его корни
123
0;kk k

4
3;k
5
3k  . Записываем общее решение:
23 3
12 3 4 5
x
x
yC CxCx Ce Ce
 .
Линейные неоднородные дифференциальные уравнени
я
Рассмотрим уравнение вида
() ( 1)
1
() ... () ().
nn
n
ypxy pxyfx

С учетом обозначения
() ( 1)
1
() ... () ()
nn
n
ypxy pxyLx
 его мож-
но записать так:
() ().
L
xfx
При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого
уравнения непрерывны на некотором интервале (конечном или бесконеч-
ном).
Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциаль-
ного уравнения
() ( 1)
1
() ... () ()
nn
n
ypxy pxyfx
в некоторой области
есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линей-
ного однородного дифференциального уравнения.
На практике удобно применять метод
вариации произвольных посто-
янных.
Для этого сначала находят общее решение соответствующего однород-
ного уравнения в виде:
11 2 2
1
...
n
nn ii
i
yCy Cy Cy Cy

.
Затем, полагая коэффициенты
12
, ,...,
n
CC C
функциями, зависящими от
х, ищется решение неоднородного уравнения:
1
()
n
ii
i
yCxy
.
Можно доказать, что для нахождения функций
12
( ), ( ),..., ( )
n
CxC x C x
надо решить систему уравнений: 
ПГУ                                                Каф ВиПМ
                              Дифференциальные уравнения

            (k 2  1)(k 2  1)  0;
                              k1  1; k2  1; k3  i; k4  i.
Тогда общее решение уравнения имеет вид:
                        y  C1e x  C2 e x  C3 cos x  C4 sin x.
      Пример 12. Решить уравнение yV  9 y   0.
      Решение. Составляем характеристическое уравнение:
k 5  9k 3  0; k 3 (k 2  9)  0 и находим его корни k1  k2  k3  0; k4  3;
k5  3 . Записываем общее решение: y  C1  C2 x  C3 x 2  C4 e3 x  C5e3 x .

              Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
      Рассмотрим уравнение вида
                          y ( n)  p1 ( x) y ( n 1)  ...  pn ( x) y  f ( x).
      С учетом обозначения y ( n)  p1 ( x) y ( n 1)  ...  pn ( x) y  L( x) его мож-
но записать так:
                                   L( x)  f ( x).
      При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого
уравнения непрерывны на некотором интервале (конечном или бесконеч-
ном).
      Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциаль-
ного уравнения y ( n)  p1 ( x) y ( n 1)  ...  pn ( x) y  f ( x) в некоторой области
есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линей-
ного однородного дифференциального уравнения.
      На практике удобно применять метод вариации произвольных посто-
янных.
      Для этого сначала находят общее решение соответствующего однород-
                                                                      n
ного уравнения в виде: y  C1 y1  C2 y2  ...  Cn yn   Ci yi .
                                                                     i 1
      Затем, полагая коэффициенты C1 , C2 ,..., Cn функциями, зависящими от
х, ищется решение неоднородного уравнения:
                                                n
                                          y   Ci ( x) yi .
                                               i 1
      Можно доказать, что для нахождения функций C1 ( x), C2 ( x),..., Cn ( x)
надо решить систему уравнений:



                                               36

Страницы