Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
38
232
()YAxBxCx
А
xBxCx.
Коэффициенты А, В и С находим методом неопределённых коэффици-
ентов. Для этого находим
2
32YAx BxC
,
62YAxB
.
Подставим найденные выражения для
Y
, Y
и Y
в исходное уравне-
ние и приравняем коэффициенты при
2
,
x
x и
0
x
, получим:
22
6 2 2(3 2 ) 6 12 24
A
x B Ax Bx C x x ,
22
6 2 6 4 2 6 12 24
x B Ax Bx C x x  .
2
0
624, 4;
6 4 12,244 12,4 12, 3;
2 2 6, 6 2 6, 0.
xA A
xAB B B B
xBC C C



Тогда
32
43Yx x, и общее решение заданного неоднородного уравне-
ния будет иметь вид
0
yy Y
2
12
x
CCe
32
43
x
x
.
Пример 14
. 2 4
x
yyye

.
Решение.
Для нахождения
0
y
составляем и решаем характеристи-
ческое уравнение:
22
12
210,(1)0, 1kk k kk .
Следовательно,
012
()
x
yeCCx.
Частное решение
Y
подбираем по виду правой части заданного урав-
нения () 4
x
f
xe . Здесь 1, 0, 1, 0, 0ab zn p . Следовательно,
2
0
()
x
YSxex, где
2r
, т.к. среди корней характеристического уравне-
ния есть два корня, равные z. Таким образом
2
x
Y
А
ex
и
22
2(2)
xxx
YAex AexAex x
 ,
22
( 2) (22) ( 42)
xxx
YAex xAex Aex x

.
Подставим найденные выражения для
Y
, Y
и Y
в исходное уравне-
ние, получим:
222
(42)2(2) 4
x
xxx
A
ex x Aex x Aex e ,
разделим обе части на
x
e , раскроем скобки и приведём подобные:
222
422 4 4
A
x Ax A Ax Ax Ax , получим
24
A
,
2
A
.
Тогда
2
2
x
Yex , и общее решение заданного неоднородного уравнения
будет иметь вид
0
yy Y
12
()
x
eC Cx
22
12
2( 2)
xx
ex e C Cx x. 
ПГУ                                                  Каф ВиПМ
                                Дифференциальные уравнения

                        Y  ( Ax 2  Bx  C )  x  Аx3  Bx 2  Cx .
      Коэффициенты А, В и С находим методом неопределённых коэффици-
ентов. Для этого находим Y   3 Ax 2  2 Bx  C , Y   6 Ax  2 B .
      Подставим найденные выражения для Y , Y  и Y  в исходное уравне-
ние и приравняем коэффициенты при x 2 , x и x 0 , получим:
                    6 Ax  2 B  2(3 Ax 2  2 Bx  C )  6  12 x  24 x 2 ,
                    6 Ax  2 B  6 Ax 2  4 Bx  2C  6  12 x  24 x 2 .
               x2      6 A  24,  A  4;
               x     6 A  4 B  12,  24  4 B  12,  4 B  12, B  3;
               x0     2 B  2C  6,  6  2C  6,  C  0.

  Тогда Y  4 x3  3 x 2 , и общее решение заданного неоднородного уравне-
ния будет иметь вид y  y0  Y  C1  C2 e2 x  4 x3  3 x 2 .

      П р и м е р 14.      y   2 y   y  4e x .
      Решение.       Для нахождения y0 составляем и решаем характеристи-
ческое уравнение: k 2  2k  1  0, (k  1) 2  0, k1  k2  1 .
Следовательно, y0  e x (C1  C2 x) .
      Частное решение       Y подбираем по виду правой части заданного урав-
нения f ( x)  4e x . Здесь a  1, b  0, z  1, n  0, p  0 . Следовательно,
Y  S0 ( x)  e x  x 2 , где r  2 , т.к. среди корней характеристического уравне-
ния есть два корня, равные z. Таким образом Y  Аe x x 2 и
                          Y   Ae x x 2  2 Ae x x  Ae x ( x 2  2 x) ,
               Y   Ae x ( x 2  2 x)  Ae x (2 x  2)  Ae x ( x 2  4 x  2) .
      Подставим найденные выражения для Y , Y  и Y  в исходное уравне-
ние, получим:        Ae x ( x 2  4 x  2)  2 Ae x ( x 2  2 x)  Ae x x 2  4e x ,
разделим обе части на e x , раскроем скобки и приведём подобные:
        Ax 2  4 Ax  2 A  2 Ax 2  4 Ax  Ax 2  4 , получим 2 A  4 , A  2 .
  Тогда Y  2e x x 2 , и общее решение заданного неоднородного уравнения
будет иметь вид
      y  y0  Y  e x (C1  C2 x)  2e x x 2  e x (C1  C2 x  2 x 2 ) .

                                                 38

Страницы