Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
39
Пример 15.
36 2sin 6yy x


.
Решение.
Для нахождения
0
y
составляем и решаем характеристи-
ческое уравнение:
22
12
36 0, 36, , 6kkkki   .
Следовательно,
01 2
cos 6 sin 6yC xC x
.
Частное решение
Y
подбираем по виду правой части заданного уравне-
ния () 2sin6
f
xx . Здесь 0, 6, 6 , 0, 0abzim p . Тогда
(cos6 sin6)YA xB xx, где
1r
, т.к. среди корней характеристического
уравнения есть один корень, совпадающий с z .
Находим
( 6 sin 6 6 cos6 ) ( cos6 sin 6 )YAxBxxAxBx

,
(36cos6 36sin6) 6sin6 6cos6 6sin6
6 cos6 36( cos6 sin 6 ) 12 sin 6 12 cos6 .
Y A xBxxAxB xAx
B
xAxBxxAxBx



Подставим найденные выражения для
Y
и Y
в исходное уравнение:
36( cos6 sin 6 ) 12 sin 6 12 cos6
36( cos6 sin 6 ) 2sin 6 ,
A
xB xx A x B x
AxBxx x


12 sin 6 12 cos 6 2sin 6
A
xB x x .
Приравняем коэффициенты при sin 6
x
и cos 6
, получим:
sin 6 12 2, 6;
cos6 12 0, 0.
xA A
xB B


Тогда 6cos6Yxx , и общее решение заданного неоднородного уравне-
ния будет иметь вид
0
yy Y
12
cos 6 sin 6 6 cos 6 .CxCxxx
З а м е ч а н и е.
Если в неоднородном уравнении
12
() () ()
f
xfxfx
, то частное ре-
шение
12
YY Y
, где
1
Y
– частное решение уравнения с правой частью
1
()
f
x
,
2
Y
– частное решение уравнения с правой частью
2
()
f
x
.
Пример 16
. Найти общее решение линейного неоднородного диф-
ференциального уравнения
3
61074 104
x
yy ye x

 .
Решение
. Для нахождения
0
y
составляем и решаем характеристиче-
ское уравнение:
2
1, 2
6100, 36404, 2, 32kk D Dik i
.
Следовательно,
3
01 2
(cos2 sin2)
x
ye C xC x
. 
ПГУ                                                Каф ВиПМ
                              Дифференциальные уравнения

      П р и м е р 15. y   36 y  2sin 6 x .
      Решение.       Для нахождения y0 составляем и решаем характеристи-
ческое уравнение: k 2  36  0, k 2  36, k1, k2  6i .
Следовательно, y0  C1 cos 6 x  C2 sin 6 x .
        Частное решение Y подбираем по виду правой части заданного уравне-
ния f ( x)  2sin 6 x . Здесь a  0, b  6, z  6i, m  0, p  0 . Тогда
Y  ( A cos6 x  B sin 6 x)  x , где r  1 , т.к. среди корней характеристического
уравнения есть один корень, совпадающий с z .
        Находим Y   (6 A sin 6 x  6 B cos 6 x ) x  ( A cos 6 x  B sin 6 x ) ,
Y   (36 A cos6 x  36 B sin 6 x) x  6 A sin 6 x  6 B cos 6 x  6 A sin 6 x 
    6 B cos 6 x  36( A cos 6 x  B sin 6 x) x  12 A sin 6 x  12 B cos 6 x.
        Подставим найденные выражения для Y и Y  в исходное уравнение:
                  36( A cos 6 x  B sin 6 x) x  12 A sin 6 x  12 B cos 6 x 
                36( A cos 6 x  B sin 6 x) x  2sin 6 x,
                    12 A sin 6 x  12 B cos6 x  2sin 6 x .
      Приравняем коэффициенты при sin 6x и cos 6x , получим:
                      sin 6 x  12 A  2,  A  6;
                             cos6 x    12 B  0,  B  0.
  Тогда Y  6 x cos6 x , и общее решение заданного неоднородного уравне-
ния будет иметь вид
                  y  y0  Y  C1 cos 6 x  C2 sin 6 x  6 x cos 6 x.

          З а м е ч а н и е.
          Если в неоднородном уравнении f ( x )  f1 ( x)  f 2 ( x ) , то частное ре-
шение Y  Y1  Y2 , где Y1 – частное решение уравнения с правой частью
f1 ( x) , Y2 – частное решение уравнения с правой частью f 2 ( x ) .
     П р и м е р 16. Найти общее решение линейного неоднородного диф-
ференциального уравнения y   6 y   10 y  74e3 x  10 x  4 .
      Р е ш е н и е . Для нахождения y0 составляем и решаем характеристиче-
ское уравнение:
             k 2  6k  10  0, D  36  40  4,           D  2i, k1,2  3  2i .

Следовательно, y0  e3 x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x) .




                                            39

Страницы