Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
37
1
1
(1)
1
() 0,
() 0,
..........................
() ().
n
ii
i
n
ii
i
n
n
i
i
i
Cxy
Cxy
Cxy fx

Линейные неоднородные дифференциальные уравнени
я с постоян-
ными коэффициентами и правой частью специального вида
Общее решение линейного неоднородного дифференциального урав-
нения равно сумме двух решений: общего решения соответствующего одно-
родного уравнения (
0
y
) и некоторого частного решения неоднородного
уравнения (
Y
), т.е.
0
yy Y
. Если правая часть уравнения имеет вид
() ( ()cos ()sin )
ax
nm
f
xePx bxQx bx,
где
()
n
Px
и
()
m
Qx
– многочлены степени n и m соответственно, то частное
решение может быть найдено в виде:
(()cos ()sin)
ax r
pp
Y e S x bx T x bx x,
где
(), ()
pp
SxTx
– многочлены степени max( , )
p
nm
с неопределёнными
коэффициентами, r равно числу корней характеристического уравнения,
совпадающих со значением zabi
. Таким образом, 0r
, если среди кор-
ней характеристического уравнения нет числа z;
1r
, если существует один
корень, совпадающий с z;
2r
, если существуют два корня, совпадающие с
z.
Пример 13
.
2
261224yy xx

 .
Решение.
Для нахождения
0
y
составляем и решаем характеристи-
ческое уравнение:
2
12
20,(2)0, 0, 2kk kk k k .
Следовательно,
2
012
x
yCCe .
Частное решение
Y
подбираем по виду правой части заданного
уравнения
2
() 6 12 24
f
xxx . Здесь 0, 0, 0, 2abzn
. Следова-
тельно,
2
()YSxx
, где
2
()Sx
– многочлен второй степени с неопределён-
ными коэффициентами, который умножили на
х
, т.к. среди корней характе-
ристического уравнения есть один корень, равный z. Таким образом, 
ПГУ                                               Каф ВиПМ
                             Дифференциальные уравнения

                                    n
                                      Ci ( x) yi  0,
                                    i 1
                                    n
                                     C  ( x) y   0,
                                     i             i
                                    i 1
                                    
                                    ..........................
                                    n
                                      Ci ( x) yi( n 1)  f ( x).
                                    i 1


       Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоян-
       ными коэффициентами и правой частью специального вида
     Общее решение линейного неоднородного дифференциального урав-
нения равно сумме двух решений: общего решения соответствующего одно-
родного уравнения ( y0 ) и некоторого частного решения неоднородного
уравнения ( Y ), т.е. y  y0  Y . Если правая часть уравнения имеет вид
                          f ( x)  eax ( Pn ( x)cos bx  Qm ( x)sin bx) ,
где Pn ( x ) и Qm ( x) – многочлены степени n и m соответственно, то частное
решение может быть найдено в виде:
                         Y  eax ( S p ( x)cos bx  T p ( x)sin bx)  x r ,
где S p ( x), T p ( x) – многочлены степени p  max(n, m) с неопределёнными
коэффициентами, r равно числу корней характеристического уравнения,
совпадающих со значением z  a  bi . Таким образом, r  0 , если среди кор-
ней характеристического уравнения нет числа z; r  1 , если существует один
корень, совпадающий с z; r  2 , если существуют два корня, совпадающие с
z.
      П р и м е р 13.   y   2 y   6  12 x  24 x 2 .
      Решение.     Для нахождения y0 составляем и решаем характеристи-
ческое уравнение: k 2  2k  0, k (k  2)  0, k1  0, k2  2 .
Следовательно, y0  C1  C2 e2 x .
     Частное решение Y подбираем по виду правой части заданного
уравнения f ( x)  6  12 x  24 x 2 . Здесь a  0, b  0, z  0, n  2 . Следова-
тельно, Y  S 2 ( x )  x , где S 2 ( x ) – многочлен второй степени с неопределён-
ными коэффициентами, который умножили на х , т.к. среди корней характе-
ристического уравнения есть один корень, равный z. Таким образом,

                                              37

Страницы