Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
40
Частное решение
Y
подбираем по виду правой части заданного
уравнения
3
12
() 74 2 1 () ()
x
f
xe x fxfx, где
3
1
() 74
x
f
xe , а
2
() 10 4fx x
. Поэтому
12
YY Y
, где
1
Y
– частное решение уравнения
3
61074
x
yy ye

 , (1)
2
Y
– частное решение уравнения
610104yy yx


. (2)
3
1
() 74
x
f
xe . Здесь 3, 0, 3, 0, 0, 0abzn pr , поэтому
33 3
11 1
,3, 9
x
xx
YAe Y Ae Y Ae

 .
Подставим найденные выражения для
Y
, Y
и Y
в уравнение (1):
3333
9181074
x
xxx
A
eAeAee,
33
37 74 37 74, 2
xx
Ae e A A .
Следовательно,
3
1
2
x
Ye .
2
() 10 4fx x
. Здесь 0, 0, 0, 1, 1, 0abznpr
, поэтому
222
,,0YAxBY AY

 . Подставим найденные выражения для
Y
, Y
и
Y

в уравнение (2) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х
.
610 10104
A
Ax B x
.
0
10 10 1;
61046104 1.
xA A
xAB B B


Тогда
2
1Yx
, и общее решение заданного неоднородного уравнения бу-
дет иметь вид
012
yy Y Y
3
12
(cos2 sin2)
x
eC xC x
3
2
x
e
1
x
.
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся
случаем системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями
(), (), ()yyxzzxuux:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
dy
ay az au
dx
dz
ayazau
dx
du
ayaz au
dx



(12.15) 
ПГУ                                                Каф ВиПМ
                              Дифференциальные уравнения

       Частное решение          Y подбираем по виду правой части заданного
уравнения f ( x)  74e3 x  2 x  1  f1 ( x)  f 2 ( x) , где f1 ( x)  74e3 x , а
 f 2 ( x )  10 x  4 . Поэтому Y  Y1  Y2 , где
Y1 – частное решение уравнения y   6 y   10 y  74e3 x ,              (1)
Y2 – частное решение уравнения y   6 y   10 y  10 x  4 .            (2)
       f1 ( x)  74e3 x . Здесь a  3, b  0, z  3, n  0, p  0, r  0 , поэтому
Y1  Ae3 x , Y1  3 Ae3 x , Y1  9 Ae3 x .
      Подставим найденные выражения для Y , Y  и Y  в уравнение (1):
                          9 Ae3 x  18 Ae3 x  10 Ae3 x  74e3 x ,
                        37 Ae3 x  74e3 x  37 A  74,       A  2.
Следовательно, Y1  2e3 x .
        f 2 ( x )  10 x  4 . Здесь a  0, b  0, z  0, n  1, p  1, r  0 , поэтому
Y2  Ax  B, Y2  A, Y2  0 . Подставим найденные выражения для Y , Y  и
Y  в уравнение (2) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х
.
                                  6 A  10 Ax  10 B  10 x  4 .
                        x 10 A  10  A  1;
                   x0 6 A  10 B  4  6  10 B  4  B  1.
Тогда Y2  x  1 , и общее решение заданного неоднородного уравнения бу-
дет иметь вид
                y  y0  Y1  Y2  e3 x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x) 2e3 x  x  1 .

    Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
                                     коэффициентами
       При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся
случаем системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями
y  y ( x), z  z ( x), u  u ( x) :
                       dy
                       dx  a11 y  a12 z  a13u
                      
                       dz
                        a21 y  a22 z  a23u                                    (12.15)
                       dx
                       du
                       dx  a31 y  a32 z  a33u
                      


                                             40

Страницы