Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
41
Решения системы (12.15) ищутся в виде:
;;,,,,
kx kx kx
y e z e u e k const
Подставляя эти значения в систему (12.15) и разделив на
kx
e , получа-
ем:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
ka a a
ka a a
ka a a



После несложных преобразований система примет вид:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
() 0
() 0
()0
ak a a
aaka
aa ak

 
  
(12.16)
Система (12.16) являет
ся однородной системой трёх линейных уравне-
ний с тремя неизвестными ,,. Для того, чтобы эта система имела ненуле-
вое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был ра-
вен нулю, т.е.:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0
aka a
aaka
aaak
. (12.17)
Это уравнение называется характеристическим уравнением
системы
(12.15). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей ст
епени относи-
тельно k, которое три корня
123
,,kk k. Каждому из этих корней соответст-
вует ненулевое решение системы:
111
11 11 11
,,,
kx kx kx
ye ze ue
22 2
22 22 22
,, ,
kx kx kx
ye ze ue
333
33 33 33
,,.
kx kx kx
ye ze ue
Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициента-
ми будет решением системы (12.15):
3
12
11 2 2 3 3
;
kx
kx k x
yC e C e C e
3
12
11 2 2 3 3
;
kx
kx k x
zC e C e C e
3
12
11 2 2 3 3
.
kx
kx k x
uCe C e C e 
ПГУ                                               Каф ВиПМ
                             Дифференциальные уравнения

      Решения         системы             (12.15)             ищутся                 в       виде:
y  ekx ; z  ekx ; u  ekx , , , , k  const
      Подставляя эти значения в систему (12.15) и разделив на ekx , получа-
ем:
                              k  a11  a12  a13 
                              
                               k  a21  a22  a23 
                               k  a   a   a 
                                     31     32     33
      После несложных преобразований система примет вид:
                  (a11  k )  a12  a13   0
                  
                  a21  (a22  k )  a23   0                                        (12.16)
                  a   a   (a  k )   0
                   31       32       33
      Система (12.16) является однородной системой трёх линейных уравне-
ний с тремя неизвестными , ,  . Для того, чтобы эта система имела ненуле-
вое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был ра-
вен нулю, т.е.:
                      a11  k   a12       a13
                        a21   a22  k     a23  0 .                 (12.17)
                        a31     a32     a33  k
      Это уравнение называется характеристическим уравнением системы
(12.15). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относи-
тельно k, которое три корня k1, k2 , k3 . Каждому из этих корней соответст-
вует ненулевое решение системы:
                      y1  1ek1 x ,      z1  1ek1 x ,       u1  1ek1 x ,
                     y2   2 e k 2 x ,   z2  2 e k 2 x ,     u2   2 e k 2 x ,
                     y3  3ek3 x ,       z3  3ek3 x ,       u3   3ek3 x .
     Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициента-
ми будет решением системы (12.15):
                          y  C11ek1 x  C2  2 ek2 x  C33ek3 x ;
                           z  C11ek1 x  C22 ek2 x  C33ek3 x ;
                           u  C11ek1 x  C2  2 ek2 x  C3  3ek3 x .




                                           41

Страницы