Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
42
Пример 17. Найти общее решение системы уравнений:
52
22
x
xy
yxy

Решение
. Составим характеристическое уравнение:
2
52
0; (5 )(2 ) 4 0; 10 5 2 4 0;
22
k
kk kkk
k

2
12
760; 1; 6;kk k k
Решим систему уравнений (12.16), которая в данном случае имеет вид:
11 12
21 22
() 0
()0
ak a
aak


.
Для
1
1k
:
11 11
11 11
(5 1) 2 0 4 2 0
;.
2(21)0 2 0



 

Полагая
1
1 (принимается любое значение), получаем:
1
2.

Для
2
6k
:
22 22
22 22
(5 6) 2 0 1 2 0
;.
2(26)0 240
 


  

Полагая
2
2(принимается любое значение), получаем:
2
1.
Общее решение системы:
6
12
6
12
2
2
tt
tt
xCe Ce
yCeCe


Этот пример может быть решен другим способом:
Продифференцируем первое уравнение:
52;
x
xy

подставим в это выражение производную у
=2x + 2y из второго уравнения:
544.
x
xxy


Из первого уравнения выразим
25yx x
и подставим в
последнее уравнение, получим уравнение второго порядка относительно
функции ()
x
t : 54210
x
xxx x

 или 760
x
xx

.
Находим корни соответствующего характеристического уравнения
12
6; 1kk
и записываем решение
6
()
tt
x
tAeBe . Дифференцируем
6
() 6
tt
x
tAe Be
 и затем находим решение
66
25 655;
tttt
yx xAe Be Ae Be
  
6
1
() 2 .
2
tt
y t Ae Be
Обозначив
12
1
;
2
A
CBC, получаем общее решение системы:
6
12
6
12
2
2
tt
tt
xCe Ce
yCeCe


. 
ПГУ                                                Каф ВиПМ
                              Дифференциальные уравнения

      П р и м е р 17. Найти общее решение системы уравнений:
                                    x  5 x  2 y
                                   
                                    y  2 x  2 y
    Р е ш е н и е . Составим характеристическое уравнение:
5k     2
              0;     (5  k )(2  k )  4  0; 10  5k  2k  k 2  4  0;
 2    2k

                            k 2  7 k  6  0;     k1  1;     k2  6;
      Решим систему уравнений (12.16), которая в данном случае имеет вид:
                            (a11  k )  a12  0
                                                   .
                            a21  (a22  k )  0
            (5  1)1  21  0    41  21  0
Для k1  1:                      ;               .
              2
             1   (2  1)1  0     2 
                                     1 1    0
Полагая 1  1 (принимается любое значение), получаем: 1  2.
              (5  6) 2  22  0    1 2  22  0
Для k2  6 :                        ;                 .
               2
               2   (2  6) 2  0     2
                                        2   4 2  0
Полагая  2  2 (принимается любое значение), получаем: 2  1.
                              x  C et  2C e6t
                                      1       2
      Общее решение системы: 
                               y  2C1et  C2 e6t
      Этот пример может быть решен другим способом:
      Продифференцируем первое уравнение: x  5 x  2 y ;
подставим в это выражение производную у =2x + 2y из второго уравнения:
x  5 x  4 x  4 y. Из первого уравнения выразим 2 y  x  5 x и подставим в
последнее уравнение, получим уравнение второго порядка относительно
функции x(t ) :         x  5 x  4 x  2 x  10 x или x  7 x  6 x  0 .
      Находим корни соответствующего характеристического уравнения
k1  6; k2  1 и записываем решение x(t )  Aet  Be6t . Дифференцируем
x(t )  Aet  6 Be6t и затем находим решение
                                                                        1 6t
2 y  x  5 x  Aet  6 Be6t  5 Aet  5 Be6t ;    y (t )  2 Aet      Be . Обозначив
                                                                        2
          1                                                       x  C et  2C e6t
                                                                          1      2
A  C1;     B  C2 , получаем общее решение системы:                                    .
          2                                                                   t
                                                                   y  2C1e  C2 e 6t



                                             42

Страницы