Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
34
Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного
дифференциального уравнения
12
, ,...,
n
yy y была фундаментальной, необхо-
димо и достаточно, чтобы составленный из них определитель Вронского был
не равен нулю.
Теорема. Если
12
, ,...,
n
yy y - фундаментальная система решений на ин-
тервале (,)ab , то общее решение линейного однородного дифференциально-
го уравнения является линейной комбинацией этих решений
11 2 2
...
nn
yCy Cy Cy
,
где
12
, ,...,
n
CC C
– произвольные постоянные.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с по-
стоянными коэффициентами
() ( 1)
1
... 0
nn
n
yay ay
 или () 0
L
y ,
решение которого будем искать в виде
kx
ye , где k = const.
Так как
2()
; ; ...; ,
kx kx n n kx
yke yke y ke

 то
1
1
( ) ( ... ).
kx kx n n
n
L
eekak a

При этом многочлен
1
1
() ...
nn
n
Fk k ak a
 называется характе-
ристическим многочленом дифференциального уравнения.
Для того чтобы функция
kx
ye являлась решением исходного диффе-
ренциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы
()0;
kx
Le
т.е. ( ) 0.
kx
eFk
Так как 0
kx
e
, то () 0Fk
- это уравнение называется характеристи-
ческим уравнением.
Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое
уравнение
1
1
... 0
nn
n
kak a
 имеет n корней. Каждому корню характе-
ристического уравнения
i
k соответствует решение дифференциального урав-
нения. Характеристическое уравнение может иметь либо n различных дейст-
вительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные
корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и
кратные.
Сформулируем общее правило нахождения решения линейного одно-
родного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 
ПГУ                                               Каф ВиПМ
                             Дифференциальные уравнения

      Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного
дифференциального уравнения y1, y2 ,..., yn была фундаментальной, необхо-
димо и достаточно, чтобы составленный из них определитель Вронского был
не равен нулю.
      Теорема. Если y1, y2 ,..., yn - фундаментальная система решений на ин-
тервале ( a, b) , то общее решение линейного однородного дифференциально-
го уравнения является линейной комбинацией этих решений
                              y  C1 y1  C2 y2  ...  Cn yn ,
где C1 , C2 ,..., Cn – произвольные постоянные.

           Линейные однородные дифференциальные уравнения с
                    постоянными коэффициентами
     Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с по-
стоянными коэффициентами
                       y ( n)  a1 y ( n 1)  ...  an y  0 или L( y )  0 ,
решение которого будем искать в виде y  ekx , где k = const.
      Так как y   kekx ;    y   k 2 ekx ; ...;   y ( n)  k n ekx , то
                             L(ekx )  ekx (k n  a1k n 1  ...  an ).
     При этом многочлен F (k )  k n  a1k n 1  ...  an называется характе-
ристическим многочленом дифференциального уравнения.
     Для того чтобы функция y  ekx являлась решением исходного диффе-
ренциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы
                                 L(ekx )  0; т.е. ekx F (k )  0.
     Так как ekx  0 , то F (k )  0 - это уравнение называется характеристи-
ческим уравнением.
     Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое
уравнение k n  a1k n 1  ...  an  0 имеет n корней. Каждому корню характе-
ристического уравнения ki соответствует решение дифференциального урав-
нения. Характеристическое уравнение может иметь либо n различных дейст-
вительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные
корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и
кратные.
     Сформулируем общее правило нахождения решения линейного одно-
родного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.


                                              34

Страницы