Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Дифференциальные уравнения
32
3. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Это уравнения вида
(, )yfyy

. (12.13)
Порядок таких уравнений может быть понижен с помощью замены
().
ypy
Тогда
;
dy dy dy dp
yp
dx dy dx dy


Подставляем эти значения в исходное дифференциальное уравнение:
(, )
dp
pfyp
dy

.
Получили ДУ первого порядка, пусть
1
(, )pyC
является общим его
решением. Заменяя функцию ()
p
y на
y
, получаем уравнение
1
(, )yyC

,
интегрируя которое найдём общий интеграл уравнения (12.13)
2
1
(, )
dy
x
C
yC

.
Пример 7.
Решить уравнение
2
0.yy y

Решение
. Понизим порядок уравнения с помощью подстановки
().ypy
Тогда
.
dp dp
yyp
dy dy


2
0; 0; ;
dp
ypp p yC
dy

и
11
;; ;lnlnln;.
ydp dp dy dp dy
ppyCpCy
dy p y p y


Далее, заменим ()
p
y на y
:
12 1
11 1 12 3
;; ;ln ; ,
Cx C Cx
dy dy
yCy Cdx Cdx yCxC yee Ce
yy


г
де
2
3
C
Ce . Окончательно получаем:
1
.
Cx
yCe
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется
уравнение первой степени относительно функции
у и ее производных
()
, ,...,
n
yy y

:
() ( 1) ( 2)
12 1
... ( )
nn n
nn
ypy py pypyfx


,
где
12
, , ...,
n
p
pp – функции, зависящие от х или постоянные величины.
Левую часть этого уравнения обозначим ()
L
y : 
ПГУ                                                   Каф ВиПМ
                                 Дифференциальные уравнения

            3. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
       Это уравнения вида
                                 y   f ( y, y ) .              (12.13)
       Порядок таких уравнений может быть понижен с помощью замены
y   p( y ). Тогда
                                               dy  dy  dy dp
                                      y                  p;
                                               dx dy dx dy
       Подставляем эти значения в исходное дифференциальное уравнение:
                                     dp
                                  p     f ( y, p ) .
                                     dy
     Получили ДУ первого порядка, пусть p  ( y, C1 ) является общим его
решением. Заменяя функцию p ( y ) на y  , получаем уравнение y   ( y, C1 ) ,
интегрируя которое найдём общий интеграл уравнения (12.13)
                                   dy
                              ( y, C1 )  x  C2 .
       Пример 7. Решить уравнение yy   y 2  0.
       Решение. Понизим порядок уравнения с помощью подстановки
                            dp      dp      dp
y   p ( y ). Тогда y      y     p. y    p  p 2  0; p  0; y  C; и
                            dy      dy      dy
              ydp     dp dy               dp   dy
              dy
                   p;
                       p
                          ;
                             y            p  y ; ln p  ln y  ln C1;
                                                                                   p  C1 y.

Далее, заменим p ( y ) на y  :
              dy              dy
y   C1 y;       C1dx;      y   C1dx; ln y  C1x  C2 ;           y  eC1 x eC2  C3eC1 x , г
               y
де C3  eC2 . Окончательно получаем: y  CeC1 x .

              Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
           Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется
уравнение первой степени относительно функции у и ее производных
y , y ,..., y ( n) :
                   y ( n)  p1 y ( n 1)  p2 y ( n  2)  ...  pn 1 y   pn y  f ( x) ,
где p1, p2 , ..., pn – функции, зависящие от х или постоянные величины.
     Левую часть этого уравнения обозначим L( y ) :


                                                  32

Страницы