Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 28 стр.

ПГУ                                              Каф ВиПМ
                            Дифференциальные уравнения

                     Линейные уравнения. Уравнение Бернулли
       Уравнение
                                      y   P( x) y  Q( x),                         (12.6)
линейное относительно неизвестной функции y и её производной y  назы-
вается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого
порядка. Функции P ( x)  0, Q( x)  0 должны быть непрерывны на некото-
ром промежутке [a; b] , для того, чтобы выполнялись условия теоремы Ко-
ши существования и единственности решения. Если Q( x)  0 , то уравнение
(12.6) называется линейным однородным дифференциальным уравнением
и имеет вид:
                              y   P( x) y  0 .                 (12.7)
      Для интегрирования линейных неоднородных уравнений применяются
в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
      Метод Бернулли заключается в том, что искомая функция представля-
ется в виде произведения двух функций y  u ( x)  v( x) .
                          dv     du
      Находим y   u       v         и подставляем в исходное уравнение, по-
                          dx     dx
         dv    du
лучаем: u   v     P ( x)uv  Q( x) или
         dx    dx
                               dv      du            
                             u  v          P ( x)u   Q( x) .               (12.8)
                               dx      dx            
     Одну из составляющих произведение функций выбираем так, что вы-
                                              du
ражение в скобках было равно нулю, т.е.             P ( x)u  0 .
                                              dx
     Таким образом, можно получить функцию u, разделив переменные и
проинтегрировав:
             du                    du
             u
                  P( x)dx;       u
                                          P( x)dx;       ln u    P( x)dx;

                ln C1  ln u    P( x)dx;       u  Ce  P ( x) dx ; C  1/ C1;
      Для нахождения второй неизвестной функции v подставим полученное
выражение для функции u в уравнение (12.8) и с учетом того, что выраже-
ние, стоящее в скобках, равно нулю, получаем:
                                   dv
                  Ñe  P ( x ) dx     Q( x); Cdv  Q( x)e  P ( x ) dx dx;
                                   dx
      Интегрируя, можем найти функцию v:



                                            27