Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 26 стр.

ПГУ                                                      Каф ВиПМ
                                    Дифференциальные уравнения

                                                                           2   y
      Пример 2. Найти решение уравнения 2 xe x                                   0 , удовлетворяю-
                                                                               y
щее условию y (0)  1.
                                                                                    2   dy
      Решение. Преобразуем заданное уравнение: 2 xe x                                      0;
                                                                                        ydx
      2        dy                     2        dy                     2
2 xe x dx        0;            x
                             2 xe dx           C;          e x  ln y  C .
                y                               y
     Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения.
Для нахождения частного решения подставим в полученное выражение зна-
чения x  0 , y  1 и найдём C  e0  ln1  1 . Следовательно, частный ин-
                                                                                2
теграл заданного уравнения будет иметь вид ln y  e x  1 , а частное ре-
                    x2
                          1)
шение - y  e(e                 .

                  Однородные дифференциальные уравнения
      Функция f ( x, y ) называется однородной n – го измерения (порядка)
относительно своих аргументов x и y , если для любого значения параметра
t (кроме нуля) выполняется тождество:
                                           f (tx, ty )  t n f ( x, y ).
      Пример 3. Является ли однородной функция f ( x, y )  x3  3 x 2 y ?
          f (tx, ty )  (tx)3  3(tx) 2 ty  t 3 x3  3t 3 x 2 y  t 3 ( x3  3 x 2 y )  t 3 f ( x, y )
Таким образом, функция f ( x, y ) является однородной 3- го порядка.
     Дифференциальное уравнение (12.2) называется однородным, если его
правая часть f ( x, y ) есть однородная функция нулевого измерения относи-
тельно своих аргументов.
     Любое уравнение вида P ( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 является однородным,
если функции P( x, y ) и Q( x, y ) – однородные функции одинакового изме-
рения.
     Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого
уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.
     Рассмотрим однородное уравнение y   f ( x, y ).
     Т.к. функция f ( x, y ) – однородная нулевого измерения, то можно за-
писать: f (tx, ty )  f ( x, y ).



                                                  25