Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 24 стр.

ПГУ                                                Каф ВиПМ
                              Дифференциальные уравнения

                                                         P ( x, y )
Функцию f ( x, y ) представим в виде: f ( x, y )                  , Q( x, y )  0; тогда
                                                         Q ( x, y )
получим так называемую дифференциальную форму уравнения первого по-
рядка:
                       P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy  0 .                            (12.3)
      Общим решением дифференциального уравнения называется такая
функция y  ( x, C ) , которая при подстановке в исходное уравнение обраща-
ет его в тождество при любых значениях C .
                              Свойства общего решения.
      1) Так как С – произвольная постоянная величина, то дифференциаль-
ное уравнение имеет бесконечное множество решений.
      2) При заданных начальных условиях x  x0 , y ( x0 )  y0 существует
такое значение C  C0 , при котором решением дифференциального уравне-
ния является функция y  ( x, C0 ) .
      Решение вида y  ( x, C0 ) называется частным решением дифферен-
циального уравнения. График решения y  ( x) ДУ называется интеграль-
ной кривой. С геометрической точки зрения y  ( x, C ) есть семейство инте-
гральных кривых на плоскости Oxy , частное же решение y  ( x, C0 ) - од-
на кривая этого семейства, проходящая через точку ( x0 , y0 ) .
     Если общее решение дифференциального уравнения найдено в неяв-
ном виде  ( x, y, C )  0 , то такое решение называется общим интегралом;
уравнение вида ( x, y, C0 )  0 в этом случае называется частным интегра-
лом дифференциального уравнения.
     Задачей Коши называется нахождение любого частного решения диф-
ференциального уравнения вида y  ( x, C0 ) , удовлетворяющего начальному
условию y ( x0 )  y0 .
     Теорема Коши (теорема существования и единственности решения
дифференциального уравнения 1- го порядка).
     Если в уравнении (12.2) функция f ( x, y ) непрерывна в некоторой об-
ласти D плоскости Oxy и имеет в этой области непрерывную частную
производную f y ( x, y ) , то какова бы не была точка ( x0 , y0 ) в области D,
существует единственное решение y  ( x) этого уравнения, удовлетво-
ряющее заданному начальному условию y ( x0 )  y0 .




                                           23