Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 6
19
При
0
2x
и
0
4y
имеем
22
00
(, ) 42 4 444fx y
.
1,96 2 0,04, 4,16 4 0,16
x
y . Находим полный дифференциал
функции
22
44zxyy
в любой точке:
22 22
42
4444
xy
dz x y
x
yy xyy

 
.
Вычисляем его значение в точке А(2; 4) при данных приращениях
0,04 и 0,16
x
y  :
842
( 0,04) 0,16 0,16
44
dz

. Тогда
() 4 0,16 3,84zB
 .
2) Если поверхность задана уравнением (, )zfxy
, то уравнение каса-
тельной плоскости в точке С
(
000
;;
yz
) к данной поверхности имеет вид:
0000 000
(, )( ) (, )( )
xy
zz fxy xx fxy yy


.
000
(, )4zfxy
,
00
22
(2, 4)
48
(, ) 2
4
44
x
x
fxy
xy y


,
00
22
(2, 4)
221
(, )
42
44
y
y
fxy
xy y



.
Подставим в уравнение плоскости, получим
1
42( 2) ( 4) 2 84 8 4 4 2 40
2
zx y zxyxyz  
.
291-300. Вычислить значения частных производных
,
z
z
x
y


в задан-
ной точке
00 00
(, , )
M
xyz
от функции (, )zxy, заданной неявно
33
60
z
xyе xyz .
0
(2,1, 0)M
.
Решение.
Если уравнение (, ,) 0Fxyz
задаёт функцию двух переменных
(, )zfxy
в неявном виде и
(, ,) 0
z
Fxyz
, то справедливы формулы (11.8).
Найдём частные производные функции (, ,)Fxyz
и вычислим их значе-
ния в заданной точке.
22
(2,1,0) (2,1,0) (2,1,0)
312,3 3, 1.
z
xy z
F x yz F y xz F е xy

   
ПГУ                                                      Каф ВиПМ
                                      Контрольная работа № 6


При x0  2 и y0  4 имеем f ( x0 , y0 )  4  22  42  4  4  4 .
x  1,96  2  0,04, y  4,16  4  0,16 . Находим полный дифференциал
функции z  4 x 2  y 2  4 y в любой точке:
                                      4x                                  y  2
                      dz                               x                            y .
                                  2          2                        2        2
                               4x  y  4 y                        4x  y  4 y
Вычисляем его значение в точке А(2; 4) при данных приращениях
                             8            4  2
x  0,04 и y  0,16 : dz   (0,04)          0,16  0,16 . Тогда
                             4              4
z ( B)  4  0,16  3,84 .
     2) Если поверхность задана уравнением z  f ( x, y ) , то уравнение каса-
тельной плоскости в точке С( x0 ; y0 ; z0 ) к данной поверхности имеет вид:
                     z  z0  f x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ) .

                                                                          4x                      8
          z0  f ( x0 , y0 )  4 ,         f x ( x0 , y0 )                                        2,
                                                                 4 x 2  y 2  4 y (2, 4)         4

                                                   y  2                          2   1
                      f y ( x0 , y0 )                                               .
                                              4 x 2  y 2  4 y (2, 4)             4    2

Подставим в уравнение плоскости, получим
                   1
z  4  2( x  2)  ( y  4)  2 z  8  4 x  8  y  4  4 x  y  2 z  4  0 .
                   2
                                                                     z z
       291-300. Вычислить значения частных производных                  ,     в задан-
                                                                     x y
ной точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) от функции z ( x, y ) , заданной неявно
x3  y 3  е z  xyz  6  0 . M 0 (2, 1, 0) .
        Решение.
        Если уравнение F ( x, y, z )  0 задаёт функцию двух переменных
z  f ( x, y ) в неявном виде и Fz ( x, y, z )  0 , то справедливы формулы (11.8).
      Найдём частные производные функции F ( x, y, z ) и вычислим их значе-
ния в заданной точке.
Fx  3x 2  yz              12, Fy  3 y 2  xz                        3, Fz  е z  xy                 1.
                  (2,1,0)                                       (2,1,0)                              (2,1,0)




                                                         19

Страницы