Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 48 стр.

ПГУ                                                           Каф ВиПМ
                                           Контрольная работа № 7

                                                                     x 2  2 x 2u  5 x 2 u 2
        Далее находим:                 y   u x  u, u x  u                                ,
                                                                             2        2
                                                                         2x  6x u
                x 2 (1  2u  5u 2 )                  1  2u  5u 2                1  2u  5u 2
u x  u                              , u x  u                  ,     u x                   u,
                   x 2 (2  6u )                         2  6u                       2  6u
       1  2u  5u 2  2u  6u 2          1  u2
u x                            , u x         .
                2  6u                    2  6u
                  du
Заменяем u           и получим уравнение с разделяющимися переменными
                  dx
  du 1  u 2                                 2  6u           dx         2  6u            dx
x   
  dx 2  6u
             . Решаем его:
                                             1  u2
                                                       du 
                                                               x
                                                                 ,       1  u 2 du      x
                                                                                              ,

      du               2udu                                      d (1  u 2 )
2               3               ln x  C , 2arctg u  3                     ln x  C ,
            2                 2                                          2
     1 u              1 u                        1 u
                    2                       y            y2 
2arctg u  3ln(1  u )  ln x  C , 2arctg  3ln 1            ln x  C ,
                                            x            x 2
                                                             
                             y       x2  y2 
                     2arctg  3ln               ln x  C ,
                             x       x2 
                                              
                         y
                  2arctg  3ln( x 2  y 2 )  3ln x 2  ln x  C ,
                         x
                            y
                    2arctg  3ln( x 2  y 2 )  5ln x  C , т.о. нашли общий инте-
                            x
грал исходного уравнения.

        341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения
xy   y  2 y 2 ln x , удовлетворяющее условию y (1)  1 2 .
       Р е ш е н и е . Данное уравнение является уравнением Бернулли. Решаем
его с помощью подстановки y  u ( x)v( x) . Тогда y   u v  uv . Преобразуем
уравнение и выполним подстановку, в результате чего получим:
                  y 2 y2                     uv    u 2v 2
              y        ln x, u v  uv     2        ln x .
                  x    x                      x       x
Сгруппируем первое и третье слагаемые и функцию v(х) вынесем за скобки:
                                                    u           u 2v2
                                                          
                                               v(u  )  uv  2       ln x .                            (1)
                                                    x              x



                                                         47