Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 49 стр.

ПГУ                                                Каф ВиПМ
                                Контрольная работа № 7

                            u
Находим u(x) из условия        u 
                                0 , которое является дифференциальным
                            x
уравнением с разделяющимися переменными:
         du    u du     dx      du        dx                    1
             ,       ,             , ln u   ln x , u  .
         dx     x   u    x       u         x                    x
Полученное выражение для u(x) подставим в уравнение (1):
               1      v2             v       2ln x            dv     dv       2ln x
                  
                 v  2 ln x,                         , v       ,                   dx,
               x      x3             v2        x2              dx     v2        x2
                                                                          dx
                                                                  u1  ln x, du1 
          dv     2ln x         dv     1      2ln x                         x
         v2  x2
                      dx ,   v2 v  x2
                                      ,          dx 
                                                               2dx           2
                                                                               
                                                         dv1      , v1  
                                                               x2            x
         2ln x      2 dx      2ln x       dx     2ln x 2            2ln x  2  Cx
      =                        2               C                     .
           x        x x         x         x2        x     x                x
                 1        2ln x  2  Cx                  x
Следовательно,                            и v                 .
                 v                 x               2ln x  2  Cx
Находим общее решение исходного уравнения
                                  1        x               1
              y  u ( x )v ( x ) =                                .
                                  x 2ln x  2  Cx 2ln x  2  Cx
Подставляем начальные условия y (1)  1 2 :
1        1
               , откуда следует, что С  0 , и записываем частное решение
 2 2ln1  2  C
                               1
заданного уравнения: y                .
                           2(ln x  1)

    351-360. Найти общее решение дифференциального уравнения, допус-
кающего понижение порядка xy   y   x 2 .
      Р е ш е н и е . Данное уравнение является уравнением второго порядка,
допускающим понижение порядка. Решаем его с помощью подстановки
y  p( x) .
Тогда y   p ( x ) . Преобразуем уравнение и выполним подстановку:
                            y                  p( x)
                            y  
                                x, p( x)            x.
                            x                    x
В результате получили линейное уравнение первого порядка, которое решаем
с помощью подстановки p ( x)  u ( x)v( x) . Тогда p ( x)  u v  uv . Подставим в
уравнение и получим

                                                    48